Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 3748 / 3036
↖ ↑ ↗
← N 74.235878°
W 97.646485°		 ← 663.78 m → N 74.235878°
W 97.624512°		 →
↑
663.92 m
↓
↑
663.92 m
↓
N 74.229908°
W 97.646485°		 ← 664.03 m →
440 782 m²		 N 74.229908°
W 97.624512°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 3748 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3036 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.228790283203125 y=0.185333251953125 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.228790283203125 × 214)
    floor (0.228790283203125 × 16384)
    floor (3748.5)     		tx = 3748
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.185333251953125 × 214)
    floor (0.185333251953125 × 16384)
    floor (3036.5)     		ty = 3036
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 3748 / 3036 ti = "14/3748/3036"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/3748/3036.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 3748 ÷ 214
    3748 ÷ 16384     		x = 0.228759765625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3036 ÷ 214
    3036 ÷ 16384     		y = 0.185302734375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.228759765625 × 2 - 1) × π
    -0.54248046875 × 3.1415926535     		Λ = -1.70425266
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.185302734375 × 2 - 1) × π
    0.62939453125 × 3.1415926535     		Φ = 1.97730123552808
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.70425266} λ = -1.70425266}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.97730123552808))-π/2
    2×atan(7.22322287964462)-π/2
    2×1.43322841109413-π/2
    2.86645682218826-1.57079632675     		φ = 1.29566050
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.70425266} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -97.646485°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.29566050 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 74.235878°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 3748 KachelY 3036 -1.70425266 1.29566050 -97.646485 74.235878
    Oben rechts KachelX + 1 3749 KachelY 3036 -1.70386916 1.29566050 -97.624512 74.235878
    Unten links KachelX 3748 KachelY + 1 3037 -1.70425266 1.29555629 -97.646485 74.229908
    Unten rechts KachelX + 1 3749 KachelY + 1 3037 -1.70386916 1.29555629 -97.624512 74.229908
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.29566050-1.29555629) × R
    0.00010421000000016 × 6371000     		dl = 663.921910001019m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.29566050-1.29555629) × R
    0.00010421000000016 × 6371000     		dr = 663.921910001019m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.70425266--1.70386916) × cos(1.29566050) × R
    0.000383500000000092 × 0.271677657580759 × 6371000     		do = 663.784179697589m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.70425266--1.70386916) × cos(1.29555629) × R
    0.000383500000000092 × 0.271777946590711 × 6371000     		du = 664.029213679392m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.29566050)-sin(1.29555629))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.271677657580759-0.271777946590711)×R²
    abs(-1.70386916--1.70425266)×0.000100289009952181×R²
    0.000383500000000092×0.000100289009952181×6371000²
    0.000383500000000092×0.000100289009952181×40589641000000     		ar = 440782.202527268m²