Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 3748 / 2611
↖ ↑ ↗
← N 54.495567°
W 15.292969°		 ← 2 837.91 m → N 54.495567°
W 15.249024°		 →
↑
2 838.79 m
↓
↑
2 838.79 m
↓
N 54.470038°
W 15.292969°		 ← 2 839.68 m →
8 058 743 m²		 N 54.470038°
W 15.249024°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 3748 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2611 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.45758056640625 y=0.31878662109375 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.45758056640625 × 213)
    floor (0.45758056640625 × 8192)
    floor (3748.5)     		tx = 3748
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.31878662109375 × 213)
    floor (0.31878662109375 × 8192)
    floor (2611.5)     		ty = 2611
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 3748 / 2611 ti = "13/3748/2611"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/3748/2611.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 3748 ÷ 213
    3748 ÷ 8192     		x = 0.45751953125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2611 ÷ 213
    2611 ÷ 8192     		y = 0.3187255859375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.45751953125 × 2 - 1) × π
    -0.0849609375 × 3.1415926535     		Λ = -0.26691266
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.3187255859375 × 2 - 1) × π
    0.362548828125 × 3.1415926535     		Φ = 1.13898073497253
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.26691266} λ = -0.26691266}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.13898073497253))-π/2
    2×atan(3.12358298319254)-π/2
    2×1.26096170388779-π/2
    2.52192340777558-1.57079632675     		φ = 0.95112708
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.26691266} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -15.292969°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.95112708 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 54.495567°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 3748 KachelY 2611 -0.26691266 0.95112708 -15.292969 54.495567
    Oben rechts KachelX + 1 3749 KachelY 2611 -0.26614567 0.95112708 -15.249024 54.495567
    Unten links KachelX 3748 KachelY + 1 2612 -0.26691266 0.95068150 -15.292969 54.470038
    Unten rechts KachelX + 1 3749 KachelY + 1 2612 -0.26614567 0.95068150 -15.249024 54.470038
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.95112708-0.95068150) × R
    0.000445580000000056 × 6371000     		dl = 2838.79018000036m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.95112708-0.95068150) × R
    0.000445580000000056 × 6371000     		dr = 2838.79018000036m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.26691266--0.26614567) × cos(0.95112708) × R
    0.000766990000000023 × 0.580765935852158 × 6371000     		do = 2837.90884860222m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.26691266--0.26614567) × cos(0.95068150) × R
    0.000766990000000023 × 0.581128611761183 × 6371000     		du = 2839.68106199812m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.95112708)-sin(0.95068150))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.580765935852158-0.581128611761183)×R²
    abs(-0.26614567--0.26691266)×0.000362675909025612×R²
    0.000766990000000023×0.000362675909025612×6371000²
    0.000766990000000023×0.000362675909025612×40589641000000     		ar = 8058743.37547291m²