Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 37478 / 27033
↖ ↑ ↗
← N 30.026300°
E 25.872802°		 ← 528.87 m → N 30.026300°
E 25.878296°		 →
↑
528.86 m
↓
↑
528.86 m
↓
N 30.021543°
E 25.872802°		 ← 528.90 m →
279 705 m²		 N 30.021543°
E 25.878296°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 37478 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 27033 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.571876525878906 y=0.412498474121094 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.571876525878906 × 216)
    floor (0.571876525878906 × 65536)
    floor (37478.5)     		tx = 37478
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.412498474121094 × 216)
    floor (0.412498474121094 × 65536)
    floor (27033.5)     		ty = 27033
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 37478 / 27033 ti = "16/37478/27033"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/37478/27033.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 37478 ÷ 216
    37478 ÷ 65536     		x = 0.571868896484375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 27033 ÷ 216
    27033 ÷ 65536     		y = 0.412490844726562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.571868896484375 × 2 - 1) × π
    0.14373779296875 × 3.1415926535     		Λ = 0.45156559
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.412490844726562 × 2 - 1) × π
    0.175018310546875 × 3.1415926535     		Φ = 0.549836238642044
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.45156559} λ = 0.45156559}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.549836238642044))-π/2
    2×atan(1.73296920123924)-π/2
    2×1.04742705834065-π/2
    2.09485411668129-1.57079632675     		φ = 0.52405779
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.45156559} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 25.872802°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.52405779 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 30.026300°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 37478 KachelY 27033 0.45156559 0.52405779 25.872802 30.026300
    Oben rechts KachelX + 1 37479 KachelY 27033 0.45166147 0.52405779 25.878296 30.026300
    Unten links KachelX 37478 KachelY + 1 27034 0.45156559 0.52397478 25.872802 30.021543
    Unten rechts KachelX + 1 37479 KachelY + 1 27034 0.45166147 0.52397478 25.878296 30.021543
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.52405779-0.52397478) × R
    8.30099999999945e-05 × 6371000     		dl = 528.856709999965m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.52405779-0.52397478) × R
    8.30099999999945e-05 × 6371000     		dr = 528.856709999965m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.45156559-0.45166147) × cos(0.52405779) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.865795805358375 × 6371000     		do = 528.872649080915m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.45156559-0.45166147) × cos(0.52397478) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.865837340368982 × 6371000     		du = 528.898020803616m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.52405779)-sin(0.52397478))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.865795805358375-0.865837340368982)×R²
    abs(0.45166147-0.45156559)×4.15350106066636e-05×R²
    9.58799999999926e-05×4.15350106066636e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×4.15350106066636e-05×40589641000000     		ar = 279704.558365273m²