Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 37476 / 27737
↖ ↑ ↗
← N 26.622907°
E 25.861817°		 ← 546.03 m → N 26.622907°
E 25.867310°		 →
↑
546.06 m
↓
↑
546.06 m
↓
N 26.617997°
E 25.861817°		 ← 546.05 m →
298 170 m²		 N 26.617997°
E 25.867310°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 37476 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 27737 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.571846008300781 y=0.423240661621094 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.571846008300781 × 216)
    floor (0.571846008300781 × 65536)
    floor (37476.5)     		tx = 37476
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.423240661621094 × 216)
    floor (0.423240661621094 × 65536)
    floor (27737.5)     		ty = 27737
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 37476 / 27737 ti = "16/37476/27737"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/37476/27737.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 37476 ÷ 216
    37476 ÷ 65536     		x = 0.57183837890625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 27737 ÷ 216
    27737 ÷ 65536     		y = 0.423233032226562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.57183837890625 × 2 - 1) × π
    0.1436767578125 × 3.1415926535     		Λ = 0.45137385
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.423233032226562 × 2 - 1) × π
    0.153533935546875 × 3.1415926535     		Φ = 0.482341083977005
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.45137385} λ = 0.45137385}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.482341083977005))-π/2
    2×atan(1.61986220012807)-π/2
    2×1.01772686025163-π/2
    2.03545372050327-1.57079632675     		φ = 0.46465739
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.45137385} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 25.861817°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.46465739 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 26.622907°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 37476 KachelY 27737 0.45137385 0.46465739 25.861817 26.622907
    Oben rechts KachelX + 1 37477 KachelY 27737 0.45146972 0.46465739 25.867310 26.622907
    Unten links KachelX 37476 KachelY + 1 27738 0.45137385 0.46457168 25.861817 26.617997
    Unten rechts KachelX + 1 37477 KachelY + 1 27738 0.45146972 0.46457168 25.867310 26.617997
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.46465739-0.46457168) × R
    8.57100000000166e-05 × 6371000     		dl = 546.058410000106m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.46465739-0.46457168) × R
    8.57100000000166e-05 × 6371000     		dr = 546.058410000106m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.45137385-0.45146972) × cos(0.46465739) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.893975147280611 × 6371000     		do = 546.029086642934m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.45137385-0.45146972) × cos(0.46457168) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.894013552065796 × 6371000     		du = 546.052543816034m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.46465739)-sin(0.46457168))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.893975147280611-0.894013552065796)×R²
    abs(0.45146972-0.45137385)×3.84047851853531e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.84047851853531e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.84047851853531e-05×40589641000000     		ar = 298170.179542014m²