Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 37475 / 28131
↖ ↑ ↗
← N 24.671978°
E 25.856323°		 ← 555.09 m → N 24.671978°
E 25.861817°		 →
↑
555.04 m
↓
↑
555.04 m
↓
N 24.666986°
E 25.856323°		 ← 555.11 m →
308 103 m²		 N 24.666986°
E 25.861817°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 37475 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 28131 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.571830749511719 y=0.429252624511719 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.571830749511719 × 216)
    floor (0.571830749511719 × 65536)
    floor (37475.5)     		tx = 37475
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.429252624511719 × 216)
    floor (0.429252624511719 × 65536)
    floor (28131.5)     		ty = 28131
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 37475 / 28131 ti = "16/37475/28131"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/37475/28131.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 37475 ÷ 216
    37475 ÷ 65536     		x = 0.571823120117188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 28131 ÷ 216
    28131 ÷ 65536     		y = 0.429244995117188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.571823120117188 × 2 - 1) × π
    0.143646240234375 × 3.1415926535     		Λ = 0.45127797
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.429244995117188 × 2 - 1) × π
    0.141510009765625 × 3.1415926535     		Φ = 0.444566807076401
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.45127797} λ = 0.45127797}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.444566807076401))-π/2
    2×atan(1.55981434891911)-π/2
    2×1.00070178960344-π/2
    2.00140357920689-1.57079632675     		φ = 0.43060725
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.45127797} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 25.856323°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.43060725 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 24.671978°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 37475 KachelY 28131 0.45127797 0.43060725 25.856323 24.671978
    Oben rechts KachelX + 1 37476 KachelY 28131 0.45137385 0.43060725 25.861817 24.671978
    Unten links KachelX 37475 KachelY + 1 28132 0.45127797 0.43052013 25.856323 24.666986
    Unten rechts KachelX + 1 37476 KachelY + 1 28132 0.45137385 0.43052013 25.861817 24.666986
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.43060725-0.43052013) × R
    8.71199999999961e-05 × 6371000     		dl = 555.041519999975m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.43060725-0.43052013) × R
    8.71199999999961e-05 × 6371000     		dr = 555.041519999975m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.45127797-0.45137385) × cos(0.43060725) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.908712437303948 × 6371000     		do = 555.088337221803m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.45127797-0.45137385) × cos(0.43052013) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.908748799720574 × 6371000     		du = 555.110549257815m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.43060725)-sin(0.43052013))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.908712437303948-0.908748799720574)×R²
    abs(0.45137385-0.45127797)×3.63624166255239e-05×R²
    9.58800000000481e-05×3.63624166255239e-05×6371000²
    9.58800000000481e-05×3.63624166255239e-05×40589641000000     		ar = 308103.23892177m²