Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 37472 / 30624
↖ ↑ ↗
← N 11.695273°
E 25.839844°		 ← 598.17 m → N 11.695273°
E 25.845337°		 →
↑
598.17 m
↓
↑
598.17 m
↓
N 11.689893°
E 25.839844°		 ← 598.18 m →
357 813 m²		 N 11.689893°
E 25.845337°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 37472 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 30624 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.571784973144531 y=0.467292785644531 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.571784973144531 × 216)
    floor (0.571784973144531 × 65536)
    floor (37472.5)     		tx = 37472
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.467292785644531 × 216)
    floor (0.467292785644531 × 65536)
    floor (30624.5)     		ty = 30624
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 37472 / 30624 ti = "16/37472/30624"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/37472/30624.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 37472 ÷ 216
    37472 ÷ 65536     		x = 0.57177734375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 30624 ÷ 216
    30624 ÷ 65536     		y = 0.46728515625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.57177734375 × 2 - 1) × π
    0.1435546875 × 3.1415926535     		Λ = 0.45099035
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.46728515625 × 2 - 1) × π
    0.0654296875 × 3.1415926535     		Φ = 0.205553425570801
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.45099035} λ = 0.45099035}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.205553425570801))-π/2
    2×atan(1.22820459674071)-π/2
    2×0.887458671449611-π/2
    1.77491734289922-1.57079632675     		φ = 0.20412102
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.45099035} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 25.839844°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.20412102 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 11.695273°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 37472 KachelY 30624 0.45099035 0.20412102 25.839844 11.695273
    Oben rechts KachelX + 1 37473 KachelY 30624 0.45108623 0.20412102 25.845337 11.695273
    Unten links KachelX 37472 KachelY + 1 30625 0.45099035 0.20402713 25.839844 11.689893
    Unten rechts KachelX + 1 37473 KachelY + 1 30625 0.45108623 0.20402713 25.845337 11.689893
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.20412102-0.20402713) × R
    9.38899999999854e-05 × 6371000     		dl = 598.173189999907m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.20412102-0.20402713) × R
    9.38899999999854e-05 × 6371000     		dr = 598.173189999907m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.45099035-0.45108623) × cos(0.20412102) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.979239537744585 × 6371000     		do = 598.169920905749m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.45099035-0.45108623) × cos(0.20402713) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.979258565542277 × 6371000     		du = 598.181544064131m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.20412102)-sin(0.20402713))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.979239537744585-0.979258565542277)×R²
    abs(0.45108623-0.45099035)×1.90277976925834e-05×R²
    9.58799999999926e-05×1.90277976925834e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×1.90277976925834e-05×40589641000000     		ar = 357812.686343912m²