Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 37472 / 27058
↖ ↑ ↗
← N 29.907329°
E 25.839844°		 ← 529.51 m → N 29.907329°
E 25.845337°		 →
↑
529.49 m
↓
↑
529.49 m
↓
N 29.902568°
E 25.839844°		 ← 529.53 m →
280 377 m²		 N 29.902568°
E 25.845337°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 37472 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 27058 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.571784973144531 y=0.412879943847656 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.571784973144531 × 216)
    floor (0.571784973144531 × 65536)
    floor (37472.5)     		tx = 37472
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.412879943847656 × 216)
    floor (0.412879943847656 × 65536)
    floor (27058.5)     		ty = 27058
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 37472 / 27058 ti = "16/37472/27058"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/37472/27058.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 37472 ÷ 216
    37472 ÷ 65536     		x = 0.57177734375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 27058 ÷ 216
    27058 ÷ 65536     		y = 0.412872314453125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.57177734375 × 2 - 1) × π
    0.1435546875 × 3.1415926535     		Λ = 0.45099035
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.412872314453125 × 2 - 1) × π
    0.17425537109375 × 3.1415926535     		Φ = 0.547439393661041
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.45099035} λ = 0.45099035}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.547439393661041))-π/2
    2×atan(1.72882051657017)-π/2
    2×1.04638884744291-π/2
    2.09277769488582-1.57079632675     		φ = 0.52198137
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.45099035} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 25.839844°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.52198137 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 29.907329°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 37472 KachelY 27058 0.45099035 0.52198137 25.839844 29.907329
    Oben rechts KachelX + 1 37473 KachelY 27058 0.45108623 0.52198137 25.845337 29.907329
    Unten links KachelX 37472 KachelY + 1 27059 0.45099035 0.52189826 25.839844 29.902568
    Unten rechts KachelX + 1 37473 KachelY + 1 27059 0.45108623 0.52189826 25.845337 29.902568
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.52198137-0.52189826) × R
    8.31100000000529e-05 × 6371000     		dl = 529.493810000337m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.52198137-0.52189826) × R
    8.31100000000529e-05 × 6371000     		dr = 529.493810000337m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.45099035-0.45108623) × cos(0.52198137) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.866832973469636 × 6371000     		do = 529.506204756687m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.45099035-0.45108623) × cos(0.52189826) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.866874409008191 × 6371000     		du = 529.531515716738m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.52198137)-sin(0.52189826))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.866832973469636-0.866874409008191)×R²
    abs(0.45108623-0.45099035)×4.1435538554957e-05×R²
    9.58799999999926e-05×4.1435538554957e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×4.1435538554957e-05×40589641000000     		ar = 280376.958935099m²