Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
12 / 3747 / 3731
↖ ↑ ↗
← S 81.348076°
E149.326172°		 ← 1 470.16 m → S 81.348076°
E149.414063°		 →
↑
1 469.09 m
↓
↑
1 469.09 m
↓
S 81.361287°
E149.326172°		 ← 1 467.94 m →
2 158 164 m²		 S 81.361287°
E149.414063°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 3747 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3731 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.9149169921875 y=0.9110107421875 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.9149169921875 × 212)
    floor (0.9149169921875 × 4096)
    floor (3747.5)     		tx = 3747
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.9110107421875 × 212)
    floor (0.9110107421875 × 4096)
    floor (3731.5)     		ty = 3731
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 3747 / 3731 ti = "12/3747/3731"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/3747/3731.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 3747 ÷ 212
    3747 ÷ 4096     		x = 0.914794921875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3731 ÷ 212
    3731 ÷ 4096     		y = 0.910888671875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.914794921875 × 2 - 1) × π
    0.82958984375 × 3.1415926535     		Λ = 2.60623336
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.910888671875 × 2 - 1) × π
    -0.82177734375 × 3.1415926535     		Φ = -2.58168966593774
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.60623336} λ = 2.60623336}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.58168966593774))-π/2
    2×atan(0.075646079374677)-π/2
    2×0.0755022821729362-π/2
    0.151004564345872-1.57079632675     		φ = -1.41979176
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.60623336} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 149.326172°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.41979176 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -81.348076°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 3747 KachelY 3731 2.60623336 -1.41979176 149.326172 -81.348076
    Oben rechts KachelX + 1 3748 KachelY 3731 2.60776734 -1.41979176 149.414063 -81.348076
    Unten links KachelX 3747 KachelY + 1 3732 2.60623336 -1.42002235 149.326172 -81.361287
    Unten rechts KachelX + 1 3748 KachelY + 1 3732 2.60776734 -1.42002235 149.414063 -81.361287
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.41979176--1.42002235) × R
    0.000230589999999919 × 6371000     		dl = 1469.08888999949m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.41979176--1.42002235) × R
    0.000230589999999919 × 6371000     		dr = 1469.08888999949m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.60623336-2.60776734) × cos(-1.41979176) × R
    0.00153398000000005 × 0.150431343496113 × 6371000     		do = 1470.16350119893m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.60623336-2.60776734) × cos(-1.42002235) × R
    0.00153398000000005 × 0.150203373507267 × 6371000     		du = 1467.9355535573m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.41979176)-sin(-1.42002235))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.150431343496113-0.150203373507267)×R²
    abs(2.60776734-2.60623336)×0.000227969988845667×R²
    0.00153398000000005×0.000227969988845667×6371000²
    0.00153398000000005×0.000227969988845667×40589641000000     		ar = 2158164.34909092m²