Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 37469 / 27379
↖ ↑ ↗
← N 28.367236°
E 25.823364°		 ← 537.44 m → N 28.367236°
E 25.828857°		 →
↑
537.52 m
↓
↑
537.52 m
↓
N 28.362402°
E 25.823364°		 ← 537.47 m →
288 894 m²		 N 28.362402°
E 25.828857°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 37469 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 27379 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.571739196777344 y=0.417778015136719 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.571739196777344 × 216)
    floor (0.571739196777344 × 65536)
    floor (37469.5)     		tx = 37469
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.417778015136719 × 216)
    floor (0.417778015136719 × 65536)
    floor (27379.5)     		ty = 27379
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 37469 / 27379 ti = "16/37469/27379"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/37469/27379.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 37469 ÷ 216
    37469 ÷ 65536     		x = 0.571731567382812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 27379 ÷ 216
    27379 ÷ 65536     		y = 0.417770385742188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.571731567382812 × 2 - 1) × π
    0.143463134765625 × 3.1415926535     		Λ = 0.45070273
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.417770385742188 × 2 - 1) × π
    0.164459228515625 × 3.1415926535     		Φ = 0.516663904104965
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.45070273} λ = 0.45070273}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.516663904104965))-π/2
    2×atan(1.67642559385483)-π/2
    2×1.03294899203485-π/2
    2.06589798406969-1.57079632675     		φ = 0.49510166
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.45070273} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 25.823364°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.49510166 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 28.367236°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 37469 KachelY 27379 0.45070273 0.49510166 25.823364 28.367236
    Oben rechts KachelX + 1 37470 KachelY 27379 0.45079860 0.49510166 25.828857 28.367236
    Unten links KachelX 37469 KachelY + 1 27380 0.45070273 0.49501729 25.823364 28.362402
    Unten rechts KachelX + 1 37470 KachelY + 1 27380 0.45079860 0.49501729 25.828857 28.362402
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.49510166-0.49501729) × R
    8.43700000000003e-05 × 6371000     		dl = 537.521270000002m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.49510166-0.49501729) × R
    8.43700000000003e-05 × 6371000     		dr = 537.521270000002m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.45070273-0.45079860) × cos(0.49510166) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.879920413571488 × 6371000     		do = 537.444627182795m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.45070273-0.45079860) × cos(0.49501729) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.879960496407423 × 6371000     		du = 537.469109288771m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.49510166)-sin(0.49501729))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.879920413571488-0.879960496407423)×R²
    abs(0.45079860-0.45070273)×4.00828359350403e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.00828359350403e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.00828359350403e-05×40589641000000     		ar = 288894.498555733m²