Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 37468 / 27652
↖ ↑ ↗
← N 27.039557°
E 25.817871°		 ← 544.02 m → N 27.039557°
E 25.823364°		 →
↑
544.02 m
↓
↑
544.02 m
↓
N 27.034664°
E 25.817871°		 ← 544.05 m →
295 966 m²		 N 27.034664°
E 25.823364°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 37468 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 27652 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.571723937988281 y=0.421943664550781 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.571723937988281 × 216)
    floor (0.571723937988281 × 65536)
    floor (37468.5)     		tx = 37468
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.421943664550781 × 216)
    floor (0.421943664550781 × 65536)
    floor (27652.5)     		ty = 27652
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 37468 / 27652 ti = "16/37468/27652"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/37468/27652.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 37468 ÷ 216
    37468 ÷ 65536     		x = 0.57171630859375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 27652 ÷ 216
    27652 ÷ 65536     		y = 0.42193603515625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.57171630859375 × 2 - 1) × π
    0.1434326171875 × 3.1415926535     		Λ = 0.45060686
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.42193603515625 × 2 - 1) × π
    0.1561279296875 × 3.1415926535     		Φ = 0.490490356912415
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.45060686} λ = 0.45060686}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.490490356912415))-π/2
    2×atan(1.6331168337743)-π/2
    2×1.02136280888476-π/2
    2.04272561776953-1.57079632675     		φ = 0.47192929
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.45060686} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 25.817871°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.47192929 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 27.039557°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 37468 KachelY 27652 0.45060686 0.47192929 25.817871 27.039557
    Oben rechts KachelX + 1 37469 KachelY 27652 0.45070273 0.47192929 25.823364 27.039557
    Unten links KachelX 37468 KachelY + 1 27653 0.45060686 0.47184390 25.817871 27.034664
    Unten rechts KachelX + 1 37469 KachelY + 1 27653 0.45070273 0.47184390 25.823364 27.034664
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.47192929-0.47184390) × R
    8.53900000000185e-05 × 6371000     		dl = 544.019690000118m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.47192929-0.47184390) × R
    8.53900000000185e-05 × 6371000     		dr = 544.019690000118m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.45060686-0.45070273) × cos(0.47192929) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.890692880476496 × 6371000     		do = 544.024318221104m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.45060686-0.45070273) × cos(0.47184390) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.890731695995881 × 6371000     		du = 544.04802626563m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.47192929)-sin(0.47184390))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.890692880476496-0.890731695995881)×R²
    abs(0.45070273-0.45060686)×3.88155193844497e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.88155193844497e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.88155193844497e-05×40589641000000     		ar = 295966.389952541m²