Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 37462 / 29115
↖ ↑ ↗
← N 70.204645°
W 77.107544°		 ← 103.44 m → N 70.204645°
W 77.104797°		 →
↑
103.40 m
↓
↑
103.40 m
↓
N 70.203715°
W 77.107544°		 ← 103.44 m →
10 696 m²		 N 70.203715°
W 77.104797°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 37462 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 29115 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.285816192626953 y=0.222133636474609 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.285816192626953 × 217)
    floor (0.285816192626953 × 131072)
    floor (37462.5)     		tx = 37462
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.222133636474609 × 217)
    floor (0.222133636474609 × 131072)
    floor (29115.5)     		ty = 29115
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 37462 / 29115 ti = "17/37462/29115"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/37462/29115.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 37462 ÷ 217
    37462 ÷ 131072     		x = 0.285812377929688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 29115 ÷ 217
    29115 ÷ 131072     		y = 0.222129821777344
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.285812377929688 × 2 - 1) × π
    -0.428375244140625 × 3.1415926535     		Λ = -1.34578052
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.222129821777344 × 2 - 1) × π
    0.555740356445312 × 3.1415926535     		Φ = 1.74590982106207
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.34578052} λ = -1.34578052}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.74590982106207))-π/2
    2×atan(5.73111339177907)-π/2
    2×1.39804926968542-π/2
    2.79609853937084-1.57079632675     		φ = 1.22530221
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.34578052} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -77.107544°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.22530221 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 70.204645°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 37462 KachelY 29115 -1.34578052 1.22530221 -77.107544 70.204645
    Oben rechts KachelX + 1 37463 KachelY 29115 -1.34573258 1.22530221 -77.104797 70.204645
    Unten links KachelX 37462 KachelY + 1 29116 -1.34578052 1.22528598 -77.107544 70.203715
    Unten rechts KachelX + 1 37463 KachelY + 1 29116 -1.34573258 1.22528598 -77.104797 70.203715
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.22530221-1.22528598) × R
    1.62299999999505e-05 × 6371000     		dl = 103.401329999684m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.22530221-1.22528598) × R
    1.62299999999505e-05 × 6371000     		dr = 103.401329999684m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.34578052--1.34573258) × cos(1.22530221) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.338661637129671 × 6371000     		do = 103.435981129873m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.34578052--1.34573258) × cos(1.22528598) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.338676908025624 × 6371000     		du = 103.44064525457m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.22530221)-sin(1.22528598))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.338661637129671-0.338676908025624)×R²
    abs(-1.34573258--1.34578052)×1.52708959532122e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.52708959532122e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.52708959532122e-05×40589641000000     		ar = 10695.6591573475m²