Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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12 / 3746 / 3734
↖ ↑ ↗
← S 81.387650°
E149.238281°		 ← 1 463.49 m → S 81.387650°
E149.326172°		 →
↑
1 462.34 m
↓
↑
1 462.34 m
↓
S 81.400802°
E149.238281°		 ← 1 461.27 m →
2 138 491 m²		 S 81.400802°
E149.326172°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 3746 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3734 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.9146728515625 y=0.9117431640625 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.9146728515625 × 212)
    floor (0.9146728515625 × 4096)
    floor (3746.5)     		tx = 3746
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.9117431640625 × 212)
    floor (0.9117431640625 × 4096)
    floor (3734.5)     		ty = 3734
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 3746 / 3734 ti = "12/3746/3734"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/3746/3734.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 3746 ÷ 212
    3746 ÷ 4096     		x = 0.91455078125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3734 ÷ 212
    3734 ÷ 4096     		y = 0.91162109375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.91455078125 × 2 - 1) × π
    0.8291015625 × 3.1415926535     		Λ = 2.60469938
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.91162109375 × 2 - 1) × π
    -0.8232421875 × 3.1415926535     		Φ = -2.58629160830127
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.60469938} λ = 2.60469938}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.58629160830127))-π/2
    2×atan(0.0752987602615946)-π/2
    2×0.0751569302177369-π/2
    0.150313860435474-1.57079632675     		φ = -1.42048247
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.60469938} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 149.238281°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.42048247 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -81.387650°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 3746 KachelY 3734 2.60469938 -1.42048247 149.238281 -81.387650
    Oben rechts KachelX + 1 3747 KachelY 3734 2.60623336 -1.42048247 149.326172 -81.387650
    Unten links KachelX 3746 KachelY + 1 3735 2.60469938 -1.42071200 149.238281 -81.400802
    Unten rechts KachelX + 1 3747 KachelY + 1 3735 2.60623336 -1.42071200 149.326172 -81.400802
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.42048247--1.42071200) × R
    0.000229529999999922 × 6371000     		dl = 1462.33562999951m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.42048247--1.42071200) × R
    0.000229529999999922 × 6371000     		dr = 1462.33562999951m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.60469938-2.60623336) × cos(-1.42048247) × R
    0.00153398000000005 × 0.149748457629629 × 6371000     		do = 1463.48966679011m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.60469938-2.60623336) × cos(-1.42071200) × R
    0.00153398000000005 × 0.149521511838061 × 6371000     		du = 1461.27172861473m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.42048247)-sin(-1.42071200))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.149748457629629-0.149521511838061)×R²
    abs(2.60623336-2.60469938)×0.00022694579156754×R²
    0.00153398000000005×0.00022694579156754×6371000²
    0.00153398000000005×0.00022694579156754×40589641000000     		ar = 2138491.40826113m²