Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 3746 / 1948
↖ ↑ ↗
← N 68.204212°
W 15.380859°		 ← 1 814.35 m → N 68.204212°
W 15.336914°		 →
↑
1 815.03 m
↓
↑
1 815.03 m
↓
N 68.187889°
W 15.380859°		 ← 1 815.65 m →
3 294 285 m²		 N 68.187889°
W 15.336914°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 3746 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1948 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.45733642578125 y=0.23785400390625 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.45733642578125 × 213)
    floor (0.45733642578125 × 8192)
    floor (3746.5)     		tx = 3746
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.23785400390625 × 213)
    floor (0.23785400390625 × 8192)
    floor (1948.5)     		ty = 1948
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 3746 / 1948 ti = "13/3746/1948"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/3746/1948.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 3746 ÷ 213
    3746 ÷ 8192     		x = 0.457275390625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1948 ÷ 213
    1948 ÷ 8192     		y = 0.23779296875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.457275390625 × 2 - 1) × π
    -0.08544921875 × 3.1415926535     		Λ = -0.26844664
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.23779296875 × 2 - 1) × π
    0.5244140625 × 3.1415926535     		Φ = 1.64749536614209
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.26844664} λ = -0.26844664}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.64749536614209))-π/2
    2×atan(5.19395456776926)-π/2
    2×1.38059219660057-π/2
    2.76118439320114-1.57079632675     		φ = 1.19038807
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.26844664} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -15.380859°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.19038807 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 68.204212°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 3746 KachelY 1948 -0.26844664 1.19038807 -15.380859 68.204212
    Oben rechts KachelX + 1 3747 KachelY 1948 -0.26767965 1.19038807 -15.336914 68.204212
    Unten links KachelX 3746 KachelY + 1 1949 -0.26844664 1.19010318 -15.380859 68.187889
    Unten rechts KachelX + 1 3747 KachelY + 1 1949 -0.26767965 1.19010318 -15.336914 68.187889
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.19038807-1.19010318) × R
    0.000284890000000093 × 6371000     		dl = 1815.03419000059m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.19038807-1.19010318) × R
    0.000284890000000093 × 6371000     		dr = 1815.03419000059m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.26844664--0.26767965) × cos(1.19038807) × R
    0.000766990000000023 × 0.371299572138779 × 6371000     		do = 1814.35286783607m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.26844664--0.26767965) × cos(1.19010318) × R
    0.000766990000000023 × 0.371564081172296 × 6371000     		du = 1815.64538945349m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.19038807)-sin(1.19010318))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.371299572138779-0.371564081172296)×R²
    abs(-0.26767965--0.26844664)×0.000264509033517324×R²
    0.000766990000000023×0.000264509033517324×6371000²
    0.000766990000000023×0.000264509033517324×40589641000000     		ar = 3294285.49559301m²