Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 3746 / 1882
↖ ↑ ↗
← N 69.256149°
W 15.380859°		 ← 1 730.75 m → N 69.256149°
W 15.336914°		 →
↑
1 731.38 m
↓
↑
1 731.38 m
↓
N 69.240578°
W 15.380859°		 ← 1 731.99 m →
2 997 667 m²		 N 69.240578°
W 15.336914°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 3746 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1882 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.45733642578125 y=0.22979736328125 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.45733642578125 × 213)
    floor (0.45733642578125 × 8192)
    floor (3746.5)     		tx = 3746
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.22979736328125 × 213)
    floor (0.22979736328125 × 8192)
    floor (1882.5)     		ty = 1882
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 3746 / 1882 ti = "13/3746/1882"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/3746/1882.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 3746 ÷ 213
    3746 ÷ 8192     		x = 0.457275390625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1882 ÷ 213
    1882 ÷ 8192     		y = 0.229736328125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.457275390625 × 2 - 1) × π
    -0.08544921875 × 3.1415926535     		Λ = -0.26844664
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.229736328125 × 2 - 1) × π
    0.54052734375 × 3.1415926535     		Φ = 1.69811673214087
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.26844664} λ = -0.26844664}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.69811673214087))-π/2
    2×atan(5.46364818366956)-π/2
    2×1.38977207906002-π/2
    2.77954415812005-1.57079632675     		φ = 1.20874783
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.26844664} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -15.380859°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.20874783 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 69.256149°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 3746 KachelY 1882 -0.26844664 1.20874783 -15.380859 69.256149
    Oben rechts KachelX + 1 3747 KachelY 1882 -0.26767965 1.20874783 -15.336914 69.256149
    Unten links KachelX 3746 KachelY + 1 1883 -0.26844664 1.20847607 -15.380859 69.240578
    Unten rechts KachelX + 1 3747 KachelY + 1 1883 -0.26767965 1.20847607 -15.336914 69.240578
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.20874783-1.20847607) × R
    0.000271760000000176 × 6371000     		dl = 1731.38296000112m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.20874783-1.20847607) × R
    0.000271760000000176 × 6371000     		dr = 1731.38296000112m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.26844664--0.26767965) × cos(1.20874783) × R
    0.000766990000000023 × 0.354190674447077 × 6371000     		do = 1730.75035406627m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.26844664--0.26767965) × cos(1.20847607) × R
    0.000766990000000023 × 0.354444804041246 × 6371000     		du = 1731.99215662297m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.20874783)-sin(1.20847607))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.354190674447077-0.354444804041246)×R²
    abs(-0.26767965--0.26844664)×0.000254129594169372×R²
    0.000766990000000023×0.000254129594169372×6371000²
    0.000766990000000023×0.000254129594169372×40589641000000     		ar = 2997666.70738775m²