Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 37459 / 29117
↖ ↑ ↗
← N 70.202785°
W 77.115784°		 ← 103.45 m → N 70.202785°
W 77.113037°		 →
↑
103.40 m
↓
↑
103.40 m
↓
N 70.201855°
W 77.115784°		 ← 103.45 m →
10 697 m²		 N 70.201855°
W 77.113037°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 37459 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 29117 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.285793304443359 y=0.222148895263672 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.285793304443359 × 217)
    floor (0.285793304443359 × 131072)
    floor (37459.5)     		tx = 37459
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.222148895263672 × 217)
    floor (0.222148895263672 × 131072)
    floor (29117.5)     		ty = 29117
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 37459 / 29117 ti = "17/37459/29117"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/37459/29117.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 37459 ÷ 217
    37459 ÷ 131072     		x = 0.285789489746094
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 29117 ÷ 217
    29117 ÷ 131072     		y = 0.222145080566406
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.285789489746094 × 2 - 1) × π
    -0.428421020507812 × 3.1415926535     		Λ = -1.34592433
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.222145080566406 × 2 - 1) × π
    0.555709838867188 × 3.1415926535     		Φ = 1.74581394726283
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.34592433} λ = -1.34592433}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.74581394726283))-π/2
    2×atan(5.73056395450306)-π/2
    2×1.39803303456437-π/2
    2.79606606912875-1.57079632675     		φ = 1.22526974
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.34592433} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -77.115784°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.22526974 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 70.202785°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 37459 KachelY 29117 -1.34592433 1.22526974 -77.115784 70.202785
    Oben rechts KachelX + 1 37460 KachelY 29117 -1.34587639 1.22526974 -77.113037 70.202785
    Unten links KachelX 37459 KachelY + 1 29118 -1.34592433 1.22525351 -77.115784 70.201855
    Unten rechts KachelX + 1 37460 KachelY + 1 29118 -1.34587639 1.22525351 -77.113037 70.201855
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.22526974-1.22525351) × R
    1.62300000001725e-05 × 6371000     		dl = 103.401330001099m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.22526974-1.22525351) × R
    1.62300000001725e-05 × 6371000     		dr = 103.401330001099m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.34592433--1.34587639) × cos(1.22526974) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.338692188241338 × 6371000     		do = 103.445312225762m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.34592433--1.34587639) × cos(1.22525351) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.338707458958808 × 6371000     		du = 103.449976295946m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.22526974)-sin(1.22525351))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.338692188241338-0.338707458958808)×R²
    abs(-1.34587639--1.34592433)×1.52707174707056e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.52707174707056e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.52707174707056e-05×40589641000000     		ar = 10696.6240023524m²