Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 37459 / 27380
↖ ↑ ↗
← N 28.362402°
E 25.768432°		 ← 537.53 m → N 28.362402°
E 25.773926°		 →
↑
537.46 m
↓
↑
537.46 m
↓
N 28.357568°
E 25.768432°		 ← 537.55 m →
288 904 m²		 N 28.357568°
E 25.773926°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 37459 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 27380 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.571586608886719 y=0.417793273925781 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.571586608886719 × 216)
    floor (0.571586608886719 × 65536)
    floor (37459.5)     		tx = 37459
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.417793273925781 × 216)
    floor (0.417793273925781 × 65536)
    floor (27380.5)     		ty = 27380
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 37459 / 27380 ti = "16/37459/27380"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/37459/27380.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 37459 ÷ 216
    37459 ÷ 65536     		x = 0.571578979492188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 27380 ÷ 216
    27380 ÷ 65536     		y = 0.41778564453125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.571578979492188 × 2 - 1) × π
    0.143157958984375 × 3.1415926535     		Λ = 0.44974399
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.41778564453125 × 2 - 1) × π
    0.1644287109375 × 3.1415926535     		Φ = 0.516568030305725
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.44974399} λ = 0.44974399}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.516568030305725))-π/2
    2×atan(1.67626487626843)-π/2
    2×1.03290681041758-π/2
    2.06581362083516-1.57079632675     		φ = 0.49501729
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.44974399} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 25.768432°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.49501729 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 28.362402°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 37459 KachelY 27380 0.44974399 0.49501729 25.768432 28.362402
    Oben rechts KachelX + 1 37460 KachelY 27380 0.44983987 0.49501729 25.773926 28.362402
    Unten links KachelX 37459 KachelY + 1 27381 0.44974399 0.49493293 25.768432 28.357568
    Unten rechts KachelX + 1 37460 KachelY + 1 27381 0.44983987 0.49493293 25.773926 28.357568
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.49501729-0.49493293) × R
    8.43600000000055e-05 × 6371000     		dl = 537.457560000035m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.49501729-0.49493293) × R
    8.43600000000055e-05 × 6371000     		dr = 537.457560000035m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.44974399-0.44983987) × cos(0.49501729) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.879960496407423 × 6371000     		do = 537.525171571968m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.44974399-0.44983987) × cos(0.49493293) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.880000568229812 × 6371000     		du = 537.54964950398m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.49501729)-sin(0.49493293))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.879960496407423-0.880000568229812)×R²
    abs(0.44983987-0.44974399)×4.00718223886321e-05×R²
    9.58799999999926e-05×4.00718223886321e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×4.00718223886321e-05×40589641000000     		ar = 288903.545247707m²