Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 37459 / 27021
↖ ↑ ↗
← N 30.083355°
E 25.768432°		 ← 528.57 m → N 30.083355°
E 25.773926°		 →
↑
528.54 m
↓
↑
528.54 m
↓
N 30.078601°
E 25.768432°		 ← 528.59 m →
279 375 m²		 N 30.078601°
E 25.773926°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 37459 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 27021 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.571586608886719 y=0.412315368652344 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.571586608886719 × 216)
    floor (0.571586608886719 × 65536)
    floor (37459.5)     		tx = 37459
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.412315368652344 × 216)
    floor (0.412315368652344 × 65536)
    floor (27021.5)     		ty = 27021
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 37459 / 27021 ti = "16/37459/27021"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/37459/27021.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 37459 ÷ 216
    37459 ÷ 65536     		x = 0.571578979492188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 27021 ÷ 216
    27021 ÷ 65536     		y = 0.412307739257812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.571578979492188 × 2 - 1) × π
    0.143157958984375 × 3.1415926535     		Λ = 0.44974399
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.412307739257812 × 2 - 1) × π
    0.175384521484375 × 3.1415926535     		Φ = 0.550986724232925
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.44974399} λ = 0.44974399}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.550986724232925))-π/2
    2×atan(1.73496410466849)-π/2
    2×1.0479249577236-π/2
    2.09584991544721-1.57079632675     		φ = 0.52505359
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.44974399} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 25.768432°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.52505359 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 30.083355°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 37459 KachelY 27021 0.44974399 0.52505359 25.768432 30.083355
    Oben rechts KachelX + 1 37460 KachelY 27021 0.44983987 0.52505359 25.773926 30.083355
    Unten links KachelX 37459 KachelY + 1 27022 0.44974399 0.52497063 25.768432 30.078601
    Unten rechts KachelX + 1 37460 KachelY + 1 27022 0.44983987 0.52497063 25.773926 30.078601
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.52505359-0.52497063) × R
    8.29599999999653e-05 × 6371000     		dl = 528.538159999779m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.52505359-0.52497063) × R
    8.29599999999653e-05 × 6371000     		dr = 528.538159999779m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.44974399-0.44983987) × cos(0.52505359) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.865297080375477 × 6371000     		do = 528.568002186998m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.44974399-0.44983987) × cos(0.52497063) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.865338661875674 × 6371000     		du = 528.593402307934m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.52505359)-sin(0.52497063))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.865297080375477-0.865338661875674)×R²
    abs(0.44983987-0.44974399)×4.15815001966191e-05×R²
    9.58799999999926e-05×4.15815001966191e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×4.15815001966191e-05×40589641000000     		ar = 279375.071937379m²