Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 37458 / 29043
↖ ↑ ↗
← N 70.271508°
W 77.118530°		 ← 103.10 m → N 70.271508°
W 77.115784°		 →
↑
103.08 m
↓
↑
103.08 m
↓
N 70.270581°
W 77.118530°		 ← 103.11 m →
10 628 m²		 N 70.270581°
W 77.115784°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 37458 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 29043 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.285785675048828 y=0.221584320068359 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.285785675048828 × 217)
    floor (0.285785675048828 × 131072)
    floor (37458.5)     		tx = 37458
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.221584320068359 × 217)
    floor (0.221584320068359 × 131072)
    floor (29043.5)     		ty = 29043
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 37458 / 29043 ti = "17/37458/29043"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/37458/29043.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 37458 ÷ 217
    37458 ÷ 131072     		x = 0.285781860351562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 29043 ÷ 217
    29043 ÷ 131072     		y = 0.221580505371094
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.285781860351562 × 2 - 1) × π
    -0.428436279296875 × 3.1415926535     		Λ = -1.34597227
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.221580505371094 × 2 - 1) × π
    0.556838989257812 × 3.1415926535     		Φ = 1.74936127783471
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.34597227} λ = -1.34597227}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.74936127783471))-π/2
    2×atan(5.75092825731537)-π/2
    2×1.3986327595933-π/2
    2.79726551918659-1.57079632675     		φ = 1.22646919
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.34597227} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -77.118530°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.22646919 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 70.271508°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 37458 KachelY 29043 -1.34597227 1.22646919 -77.118530 70.271508
    Oben rechts KachelX + 1 37459 KachelY 29043 -1.34592433 1.22646919 -77.115784 70.271508
    Unten links KachelX 37458 KachelY + 1 29044 -1.34597227 1.22645301 -77.118530 70.270581
    Unten rechts KachelX + 1 37459 KachelY + 1 29044 -1.34592433 1.22645301 -77.115784 70.270581
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.22646919-1.22645301) × R
    1.61800000000323e-05 × 6371000     		dl = 103.082780000206m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.22646919-1.22645301) × R
    1.61800000000323e-05 × 6371000     		dr = 103.082780000206m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.34597227--1.34592433) × cos(1.22646919) × R
    4.79400000001906e-05 × 0.337563385691881 × 6371000     		do = 103.100546872258m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.34597227--1.34592433) × cos(1.22645301) × R
    4.79400000001906e-05 × 0.337578615926993 × 6371000     		du = 103.105198578088m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.22646919)-sin(1.22645301))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.337563385691881-0.337578615926993)×R²
    abs(-1.34592433--1.34597227)×1.52302351120182e-05×R²
    4.79400000001906e-05×1.52302351120182e-05×6371000²
    4.79400000001906e-05×1.52302351120182e-05×40589641000000     		ar = 10628.1307467884m²