Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 37458 / 27023
↖ ↑ ↗
← N 30.073848°
E 25.762940°		 ← 528.56 m → N 30.073848°
E 25.768432°		 →
↑
528.60 m
↓
↑
528.60 m
↓
N 30.069094°
E 25.762940°		 ← 528.59 m →
279 406 m²		 N 30.069094°
E 25.768432°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 37458 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 27023 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.571571350097656 y=0.412345886230469 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.571571350097656 × 216)
    floor (0.571571350097656 × 65536)
    floor (37458.5)     		tx = 37458
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.412345886230469 × 216)
    floor (0.412345886230469 × 65536)
    floor (27023.5)     		ty = 27023
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 37458 / 27023 ti = "16/37458/27023"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/37458/27023.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 37458 ÷ 216
    37458 ÷ 65536     		x = 0.571563720703125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 27023 ÷ 216
    27023 ÷ 65536     		y = 0.412338256835938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.571563720703125 × 2 - 1) × π
    0.14312744140625 × 3.1415926535     		Λ = 0.44964812
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.412338256835938 × 2 - 1) × π
    0.175323486328125 × 3.1415926535     		Φ = 0.550794976634445
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.44964812} λ = 0.44964812}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.550794976634445))-π/2
    2×atan(1.73463146136077)-π/2
    2×1.0478419944184-π/2
    2.09568398883679-1.57079632675     		φ = 0.52488766
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.44964812} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 25.762940°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.52488766 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 30.073848°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 37458 KachelY 27023 0.44964812 0.52488766 25.762940 30.073848
    Oben rechts KachelX + 1 37459 KachelY 27023 0.44974399 0.52488766 25.768432 30.073848
    Unten links KachelX 37458 KachelY + 1 27024 0.44964812 0.52480469 25.762940 30.069094
    Unten rechts KachelX + 1 37459 KachelY + 1 27024 0.44974399 0.52480469 25.768432 30.069094
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.52488766-0.52480469) × R
    8.29700000000155e-05 × 6371000     		dl = 528.601870000099m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.52488766-0.52480469) × R
    8.29700000000155e-05 × 6371000     		dr = 528.601870000099m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.44964812-0.44974399) × cos(0.52488766) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.865380242431455 × 6371000     		do = 528.563668476756m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.44964812-0.44974399) × cos(0.52480469) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.86542181702994 × 6371000     		du = 528.589061733054m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.52488766)-sin(0.52480469))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.865380242431455-0.86542181702994)×R²
    abs(0.44974399-0.44964812)×4.15745984854166e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.15745984854166e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.15745984854166e-05×40589641000000     		ar = 279406.455192873m²