Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 37457 / 27019
↖ ↑ ↗
← N 30.092861°
E 25.757446°		 ← 528.52 m → N 30.092861°
E 25.762940°		 →
↑
528.47 m
↓
↑
528.47 m
↓
N 30.088108°
E 25.757446°		 ← 528.54 m →
279 315 m²		 N 30.088108°
E 25.762940°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 37457 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 27019 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.571556091308594 y=0.412284851074219 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.571556091308594 × 216)
    floor (0.571556091308594 × 65536)
    floor (37457.5)     		tx = 37457
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.412284851074219 × 216)
    floor (0.412284851074219 × 65536)
    floor (27019.5)     		ty = 27019
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 37457 / 27019 ti = "16/37457/27019"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/37457/27019.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 37457 ÷ 216
    37457 ÷ 65536     		x = 0.571548461914062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 27019 ÷ 216
    27019 ÷ 65536     		y = 0.412277221679688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.571548461914062 × 2 - 1) × π
    0.143096923828125 × 3.1415926535     		Λ = 0.44955224
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.412277221679688 × 2 - 1) × π
    0.175445556640625 × 3.1415926535     		Φ = 0.551178471831406
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.44955224} λ = 0.44955224}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.551178471831406))-π/2
    2×atan(1.73529681176589)-π/2
    2×1.04800791305515-π/2
    2.09601582611031-1.57079632675     		φ = 0.52521950
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.44955224} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 25.757446°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.52521950 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 30.092861°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 37457 KachelY 27019 0.44955224 0.52521950 25.757446 30.092861
    Oben rechts KachelX + 1 37458 KachelY 27019 0.44964812 0.52521950 25.762940 30.092861
    Unten links KachelX 37457 KachelY + 1 27020 0.44955224 0.52513655 25.757446 30.088108
    Unten rechts KachelX + 1 37458 KachelY + 1 27020 0.44964812 0.52513655 25.762940 30.088108
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.52521950-0.52513655) × R
    8.2949999999915e-05 × 6371000     		dl = 528.474449999459m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.52521950-0.52513655) × R
    8.2949999999915e-05 × 6371000     		dr = 528.474449999459m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.44955224-0.44964812) × cos(0.52521950) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.865213904523537 × 6371000     		do = 528.517194094741m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.44955224-0.44964812) × cos(0.52513655) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.865255492919993 × 6371000     		du = 528.542598428267m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.52521950)-sin(0.52513655))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.865213904523537-0.865255492919993)×R²
    abs(0.44964812-0.44955224)×4.15883964558494e-05×R²
    9.58799999999926e-05×4.15883964558494e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×4.15883964558494e-05×40589641000000     		ar = 279314.546395199m²