Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 37455 / 27027
↖ ↑ ↗
← N 30.054831°
E 25.746460°		 ← 528.67 m → N 30.054831°
E 25.751953°		 →
↑
528.67 m
↓
↑
528.67 m
↓
N 30.050077°
E 25.746460°		 ← 528.69 m →
279 494 m²		 N 30.050077°
E 25.751953°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 37455 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 27027 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.571525573730469 y=0.412406921386719 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.571525573730469 × 216)
    floor (0.571525573730469 × 65536)
    floor (37455.5)     		tx = 37455
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.412406921386719 × 216)
    floor (0.412406921386719 × 65536)
    floor (27027.5)     		ty = 27027
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 37455 / 27027 ti = "16/37455/27027"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/37455/27027.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 37455 ÷ 216
    37455 ÷ 65536     		x = 0.571517944335938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 27027 ÷ 216
    27027 ÷ 65536     		y = 0.412399291992188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.571517944335938 × 2 - 1) × π
    0.143035888671875 × 3.1415926535     		Λ = 0.44936050
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.412399291992188 × 2 - 1) × π
    0.175201416015625 × 3.1415926535     		Φ = 0.550411481437485
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.44936050} λ = 0.44936050}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.550411481437485))-π/2
    2×atan(1.73396636606542)-π/2
    2×1.04767604389308-π/2
    2.09535208778616-1.57079632675     		φ = 0.52455576
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.44936050} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 25.746460°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.52455576 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 30.054831°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 37455 KachelY 27027 0.44936050 0.52455576 25.746460 30.054831
    Oben rechts KachelX + 1 37456 KachelY 27027 0.44945637 0.52455576 25.751953 30.054831
    Unten links KachelX 37455 KachelY + 1 27028 0.44936050 0.52447278 25.746460 30.050077
    Unten rechts KachelX + 1 37456 KachelY + 1 27028 0.44945637 0.52447278 25.751953 30.050077
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.52455576-0.52447278) × R
    8.29800000000658e-05 × 6371000     		dl = 528.665580000419m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.52455576-0.52447278) × R
    8.29800000000658e-05 × 6371000     		dr = 528.665580000419m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.44936050-0.44945637) × cos(0.52455576) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.865546515095331 × 6371000     		do = 528.665225786337m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.44936050-0.44945637) × cos(0.52447278) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.865588070867903 × 6371000     		du = 528.690607543997m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.52455576)-sin(0.52447278))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.865546515095331-0.865588070867903)×R²
    abs(0.44945637-0.44936050)×4.15557725720328e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.15557725720328e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.15557725720328e-05×40589641000000     		ar = 279493.817607666m²