Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 3745 / 2596
↖ ↑ ↗
← N 54.876607°
W 15.424805°		 ← 2 811.39 m → N 54.876607°
W 15.380859°		 →
↑
2 812.29 m
↓
↑
2 812.29 m
↓
N 54.851315°
W 15.424805°		 ← 2 813.16 m →
7 908 919 m²		 N 54.851315°
W 15.380859°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 3745 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2596 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.45721435546875 y=0.31695556640625 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.45721435546875 × 213)
    floor (0.45721435546875 × 8192)
    floor (3745.5)     		tx = 3745
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.31695556640625 × 213)
    floor (0.31695556640625 × 8192)
    floor (2596.5)     		ty = 2596
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 3745 / 2596 ti = "13/3745/2596"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/3745/2596.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 3745 ÷ 213
    3745 ÷ 8192     		x = 0.4571533203125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2596 ÷ 213
    2596 ÷ 8192     		y = 0.31689453125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4571533203125 × 2 - 1) × π
    -0.085693359375 × 3.1415926535     		Λ = -0.26921363
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.31689453125 × 2 - 1) × π
    0.3662109375 × 3.1415926535     		Φ = 1.15048559088135
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.26921363} λ = -0.26921363}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.15048559088135))-π/2
    2×atan(3.15972687177711)-π/2
    2×1.264286897606-π/2
    2.528573795212-1.57079632675     		φ = 0.95777747
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.26921363} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -15.424805°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.95777747 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 54.876607°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 3745 KachelY 2596 -0.26921363 0.95777747 -15.424805 54.876607
    Oben rechts KachelX + 1 3746 KachelY 2596 -0.26844664 0.95777747 -15.380859 54.876607
    Unten links KachelX 3745 KachelY + 1 2597 -0.26921363 0.95733605 -15.424805 54.851315
    Unten rechts KachelX + 1 3746 KachelY + 1 2597 -0.26844664 0.95733605 -15.380859 54.851315
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.95777747-0.95733605) × R
    0.000441420000000026 × 6371000     		dl = 2812.28682000016m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.95777747-0.95733605) × R
    0.000441420000000026 × 6371000     		dr = 2812.28682000016m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.26921363--0.26844664) × cos(0.95777747) × R
    0.000766989999999967 × 0.575339245919403 × 6371000     		do = 2811.3913646587m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.26921363--0.26844664) × cos(0.95733605) × R
    0.000766989999999967 × 0.575700233841436 × 6371000     		du = 2813.15532971749m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.95777747)-sin(0.95733605))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.575339245919403-0.575700233841436)×R²
    abs(-0.26844664--0.26921363)×0.000360987922032763×R²
    0.000766989999999967×0.000360987922032763×6371000²
    0.000766989999999967×0.000360987922032763×40589641000000     		ar = 7908919.39695815m²