Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 37447 / 27705
↖ ↑ ↗
← N 26.779944°
E 25.702515°		 ← 545.28 m → N 26.779944°
E 25.708008°		 →
↑
545.36 m
↓
↑
545.36 m
↓
N 26.775039°
E 25.702515°		 ← 545.30 m →
297 377 m²		 N 26.775039°
E 25.708008°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 37447 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 27705 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.571403503417969 y=0.422752380371094 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.571403503417969 × 216)
    floor (0.571403503417969 × 65536)
    floor (37447.5)     		tx = 37447
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.422752380371094 × 216)
    floor (0.422752380371094 × 65536)
    floor (27705.5)     		ty = 27705
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 37447 / 27705 ti = "16/37447/27705"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/37447/27705.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 37447 ÷ 216
    37447 ÷ 65536     		x = 0.571395874023438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 27705 ÷ 216
    27705 ÷ 65536     		y = 0.422744750976562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.571395874023438 × 2 - 1) × π
    0.142791748046875 × 3.1415926535     		Λ = 0.44859351
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.422744750976562 × 2 - 1) × π
    0.154510498046875 × 3.1415926535     		Φ = 0.485409045552689
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.44859351} λ = 0.44859351}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.485409045552689))-π/2
    2×atan(1.62483950630399)-π/2
    2×1.01909725700277-π/2
    2.03819451400554-1.57079632675     		φ = 0.46739819
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.44859351} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 25.702515°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.46739819 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 26.779944°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 37447 KachelY 27705 0.44859351 0.46739819 25.702515 26.779944
    Oben rechts KachelX + 1 37448 KachelY 27705 0.44868938 0.46739819 25.708008 26.779944
    Unten links KachelX 37447 KachelY + 1 27706 0.44859351 0.46731259 25.702515 26.775039
    Unten rechts KachelX + 1 37448 KachelY + 1 27706 0.44868938 0.46731259 25.708008 26.775039
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.46739819-0.46731259) × R
    8.55999999999635e-05 × 6371000     		dl = 545.357599999767m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.46739819-0.46731259) × R
    8.55999999999635e-05 × 6371000     		dr = 545.357599999767m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.44859351-0.44868938) × cos(0.46739819) × R
    9.58700000000534e-05 × 0.892743593235771 × 6371000     		do = 545.276868494568m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.44859351-0.44868938) × cos(0.46731259) × R
    9.58700000000534e-05 × 0.892782158334461 × 6371000     		du = 545.300423585196m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.46739819)-sin(0.46731259))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.892743593235771-0.892782158334461)×R²
    abs(0.44868938-0.44859351)×3.85650986891584e-05×R²
    9.58700000000534e-05×3.85650986891584e-05×6371000²
    9.58700000000534e-05×3.85650986891584e-05×40589641000000     		ar = 297377.307493057m²