Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 3744 / 3935
↖ ↑ ↗
← N 79.498654°
W138.867187°		 ← 222.64 m → N 79.498654°
W138.856201°		 →
↑
222.67 m
↓
↑
222.67 m
↓
N 79.496652°
W138.867187°		 ← 222.68 m →
49 580 m²		 N 79.496652°
W138.856201°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 3744 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3935 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.114273071289062 y=0.120101928710938 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.114273071289062 × 215)
    floor (0.114273071289062 × 32768)
    floor (3744.5)     		tx = 3744
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.120101928710938 × 215)
    floor (0.120101928710938 × 32768)
    floor (3935.5)     		ty = 3935
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 3744 / 3935 ti = "15/3744/3935"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/3744/3935.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 3744 ÷ 215
    3744 ÷ 32768     		x = 0.1142578125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3935 ÷ 215
    3935 ÷ 32768     		y = 0.120086669921875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.1142578125 × 2 - 1) × π
    -0.771484375 × 3.1415926535     		Λ = -2.42368964
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.120086669921875 × 2 - 1) × π
    0.75982666015625 × 3.1415926535     		Φ = 2.38706585348032
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.42368964} λ = -2.42368964}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.38706585348032))-π/2
    2×atan(10.8815190851702)-π/2
    2×1.47915479828152-π/2
    2.95830959656304-1.57079632675     		φ = 1.38751327
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.42368964} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -138.867187°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.38751327 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.498654°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 3744 KachelY 3935 -2.42368964 1.38751327 -138.867187 79.498654
    Oben rechts KachelX + 1 3745 KachelY 3935 -2.42349790 1.38751327 -138.856201 79.498654
    Unten links KachelX 3744 KachelY + 1 3936 -2.42368964 1.38747832 -138.867187 79.496652
    Unten rechts KachelX + 1 3745 KachelY + 1 3936 -2.42349790 1.38747832 -138.856201 79.496652
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.38751327-1.38747832) × R
    3.4949999999867e-05 × 6371000     		dl = 222.666449999153m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.38751327-1.38747832) × R
    3.4949999999867e-05 × 6371000     		dr = 222.666449999153m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.42368964--2.42349790) × cos(1.38751327) × R
    0.000191739999999996 × 0.182258617513267 × 6371000     		do = 222.642669108417m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.42368964--2.42349790) × cos(1.38747832) × R
    0.000191739999999996 × 0.182292982011374 × 6371000     		du = 222.684647938749m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.38751327)-sin(1.38747832))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.182258617513267-0.182292982011374)×R²
    abs(-2.42349790--2.42368964)×3.4364498106898e-05×R²
    0.000191739999999996×3.4364498106898e-05×6371000²
    0.000191739999999996×3.4364498106898e-05×40589641000000     		ar = 49579.7263919617m²