Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 3744 / 3934
↖ ↑ ↗
← N 79.500656°
W138.867187°		 ← 222.60 m → N 79.500656°
W138.856201°		 →
↑
222.60 m
↓
↑
222.60 m
↓
N 79.498654°
W138.867187°		 ← 222.64 m →
49 556 m²		 N 79.498654°
W138.856201°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 3744 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3934 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.114273071289062 y=0.120071411132812 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.114273071289062 × 215)
    floor (0.114273071289062 × 32768)
    floor (3744.5)     		tx = 3744
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.120071411132812 × 215)
    floor (0.120071411132812 × 32768)
    floor (3934.5)     		ty = 3934
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 3744 / 3934 ti = "15/3744/3934"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/3744/3934.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 3744 ÷ 215
    3744 ÷ 32768     		x = 0.1142578125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3934 ÷ 215
    3934 ÷ 32768     		y = 0.12005615234375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.1142578125 × 2 - 1) × π
    -0.771484375 × 3.1415926535     		Λ = -2.42368964
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.12005615234375 × 2 - 1) × π
    0.7598876953125 × 3.1415926535     		Φ = 2.3872576010788
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.42368964} λ = -2.42368964}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.3872576010788))-π/2
    2×atan(10.8836057903766)-π/2
    2×1.47917227046052-π/2
    2.95834454092105-1.57079632675     		φ = 1.38754821
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.42368964} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -138.867187°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.38754821 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.500656°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 3744 KachelY 3934 -2.42368964 1.38754821 -138.867187 79.500656
    Oben rechts KachelX + 1 3745 KachelY 3934 -2.42349790 1.38754821 -138.856201 79.500656
    Unten links KachelX 3744 KachelY + 1 3935 -2.42368964 1.38751327 -138.867187 79.498654
    Unten rechts KachelX + 1 3745 KachelY + 1 3935 -2.42349790 1.38751327 -138.856201 79.498654
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.38754821-1.38751327) × R
    3.49400000001499e-05 × 6371000     		dl = 222.602740000955m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.38754821-1.38751327) × R
    3.49400000001499e-05 × 6371000     		dr = 222.602740000955m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.42368964--2.42349790) × cos(1.38754821) × R
    0.000191739999999996 × 0.1822242626251 × 6371000     		do = 222.600702017354m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.42368964--2.42349790) × cos(1.38751327) × R
    0.000191739999999996 × 0.182258617513267 × 6371000     		du = 222.642669108417m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.38754821)-sin(1.38751327))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.1822242626251-0.182258617513267)×R²
    abs(-2.42349790--2.42368964)×3.43548881665545e-05×R²
    0.000191739999999996×3.43548881665545e-05×6371000²
    0.000191739999999996×3.43548881665545e-05×40589641000000     		ar = 49556.197195504m²