Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 3744 / 2589
↖ ↑ ↗
← N 55.053203°
W 15.468750°		 ← 2 799.06 m → N 55.053203°
W 15.424805°		 →
↑
2 799.93 m
↓
↑
2 799.93 m
↓
N 55.028022°
W 15.468750°		 ← 2 800.82 m →
7 839 626 m²		 N 55.028022°
W 15.424805°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 3744 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2589 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.45709228515625 y=0.31610107421875 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.45709228515625 × 213)
    floor (0.45709228515625 × 8192)
    floor (3744.5)     		tx = 3744
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.31610107421875 × 213)
    floor (0.31610107421875 × 8192)
    floor (2589.5)     		ty = 2589
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 3744 / 2589 ti = "13/3744/2589"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/3744/2589.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 3744 ÷ 213
    3744 ÷ 8192     		x = 0.45703125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2589 ÷ 213
    2589 ÷ 8192     		y = 0.3160400390625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.45703125 × 2 - 1) × π
    -0.0859375 × 3.1415926535     		Λ = -0.26998062
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.3160400390625 × 2 - 1) × π
    0.367919921875 × 3.1415926535     		Φ = 1.15585452363879
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.26998062} λ = -0.26998062}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.15585452363879))-π/2
    2×atan(3.17673685475097)-π/2
    2×1.26582798782908-π/2
    2.53165597565815-1.57079632675     		φ = 0.96085965
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.26998062} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -15.468750°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.96085965 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 55.053203°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 3744 KachelY 2589 -0.26998062 0.96085965 -15.468750 55.053203
    Oben rechts KachelX + 1 3745 KachelY 2589 -0.26921363 0.96085965 -15.424805 55.053203
    Unten links KachelX 3744 KachelY + 1 2590 -0.26998062 0.96042017 -15.468750 55.028022
    Unten rechts KachelX + 1 3745 KachelY + 1 2590 -0.26921363 0.96042017 -15.424805 55.028022
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.96085965-0.96042017) × R
    0.000439479999999937 × 6371000     		dl = 2799.9270799996m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.96085965-0.96042017) × R
    0.000439479999999937 × 6371000     		dr = 2799.9270799996m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.26998062--0.26921363) × cos(0.96085965) × R
    0.000766990000000023 × 0.572815556212419 × 6371000     		do = 2799.05937183969m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.26998062--0.26921363) × cos(0.96042017) × R
    0.000766990000000023 × 0.573175735735912 × 6371000     		du = 2800.81938666443m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.96085965)-sin(0.96042017))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.572815556212419-0.573175735735912)×R²
    abs(-0.26921363--0.26998062)×0.000360179523492321×R²
    0.000766990000000023×0.000360179523492321×6371000²
    0.000766990000000023×0.000360179523492321×40589641000000     		ar = 7839626.21650277m²