Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 3744 / 1889
↖ ↑ ↗
← N 69.146920°
W 15.468750°		 ← 1 739.46 m → N 69.146920°
W 15.424805°		 →
↑
1 740.05 m
↓
↑
1 740.05 m
↓
N 69.131271°
W 15.468750°		 ← 1 740.71 m →
3 027 826 m²		 N 69.131271°
W 15.424805°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 3744 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1889 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.45709228515625 y=0.23065185546875 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.45709228515625 × 213)
    floor (0.45709228515625 × 8192)
    floor (3744.5)     		tx = 3744
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.23065185546875 × 213)
    floor (0.23065185546875 × 8192)
    floor (1889.5)     		ty = 1889
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 3744 / 1889 ti = "13/3744/1889"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/3744/1889.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 3744 ÷ 213
    3744 ÷ 8192     		x = 0.45703125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1889 ÷ 213
    1889 ÷ 8192     		y = 0.2305908203125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.45703125 × 2 - 1) × π
    -0.0859375 × 3.1415926535     		Λ = -0.26998062
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.2305908203125 × 2 - 1) × π
    0.538818359375 × 3.1415926535     		Φ = 1.69274779938342
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.26998062} λ = -0.26998062}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.69274779938342))-π/2
    2×atan(5.43439282925126)-π/2
    2×1.38881887572299-π/2
    2.77763775144598-1.57079632675     		φ = 1.20684142
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.26998062} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -15.468750°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.20684142 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 69.146920°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 3744 KachelY 1889 -0.26998062 1.20684142 -15.468750 69.146920
    Oben rechts KachelX + 1 3745 KachelY 1889 -0.26921363 1.20684142 -15.424805 69.146920
    Unten links KachelX 3744 KachelY + 1 1890 -0.26998062 1.20656830 -15.468750 69.131271
    Unten rechts KachelX + 1 3745 KachelY + 1 1890 -0.26921363 1.20656830 -15.424805 69.131271
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.20684142-1.20656830) × R
    0.000273119999999905 × 6371000     		dl = 1740.04751999939m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.20684142-1.20656830) × R
    0.000273119999999905 × 6371000     		dr = 1740.04751999939m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.26998062--0.26921363) × cos(1.20684142) × R
    0.000766990000000023 × 0.355972853325578 × 6371000     		do = 1739.45895919764m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.26998062--0.26921363) × cos(1.20656830) × R
    0.000766990000000023 × 0.356228069674021 × 6371000     		du = 1740.70607217181m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.20684142)-sin(1.20656830))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.355972853325578-0.356228069674021)×R²
    abs(-0.26921363--0.26998062)×0.000255216348442611×R²
    0.000766990000000023×0.000255216348442611×6371000²
    0.000766990000000023×0.000255216348442611×40589641000000     		ar = 3027826.28483286m²