Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 37433 / 28238
↖ ↑ ↗
← N 24.136728°
E 25.625610°		 ← 557.45 m → N 24.136728°
E 25.631104°		 →
↑
557.46 m
↓
↑
557.46 m
↓
N 24.131715°
E 25.625610°		 ← 557.47 m →
310 761 m²		 N 24.131715°
E 25.631104°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 37433 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 28238 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.571189880371094 y=0.430885314941406 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.571189880371094 × 216)
    floor (0.571189880371094 × 65536)
    floor (37433.5)     		tx = 37433
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.430885314941406 × 216)
    floor (0.430885314941406 × 65536)
    floor (28238.5)     		ty = 28238
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 37433 / 28238 ti = "16/37433/28238"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/37433/28238.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 37433 ÷ 216
    37433 ÷ 65536     		x = 0.571182250976562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 28238 ÷ 216
    28238 ÷ 65536     		y = 0.430877685546875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.571182250976562 × 2 - 1) × π
    0.142364501953125 × 3.1415926535     		Λ = 0.44725127
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.430877685546875 × 2 - 1) × π
    0.13824462890625 × 3.1415926535     		Φ = 0.434308310557709
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.44725127} λ = 0.44725127}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.434308310557709))-π/2
    2×atan(1.54389479381118)-π/2
    2×0.996030852002263-π/2
    1.99206170400453-1.57079632675     		φ = 0.42126538
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.44725127} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 25.625610°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.42126538 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 24.136728°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 37433 KachelY 28238 0.44725127 0.42126538 25.625610 24.136728
    Oben rechts KachelX + 1 37434 KachelY 28238 0.44734715 0.42126538 25.631104 24.136728
    Unten links KachelX 37433 KachelY + 1 28239 0.44725127 0.42117788 25.625610 24.131715
    Unten rechts KachelX + 1 37434 KachelY + 1 28239 0.44734715 0.42117788 25.631104 24.131715
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.42126538-0.42117788) × R
    8.75000000000181e-05 × 6371000     		dl = 557.462500000115m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.42126538-0.42117788) × R
    8.75000000000181e-05 × 6371000     		dr = 557.462500000115m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.44725127-0.44734715) × cos(0.42126538) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.912572237515145 × 6371000     		do = 557.446101893318m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.44725127-0.44734715) × cos(0.42117788) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.912608014130603 × 6371000     		du = 557.46795609182m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.42126538)-sin(0.42117788))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.912572237515145-0.912608014130603)×R²
    abs(0.44734715-0.44725127)×3.57766154573946e-05×R²
    9.58800000000481e-05×3.57766154573946e-05×6371000²
    9.58800000000481e-05×3.57766154573946e-05×40589641000000     		ar = 310761.389223033m²