Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 37432 / 27352
↖ ↑ ↗
← N 28.497661°
E 25.620117°		 ← 536.78 m → N 28.497661°
E 25.625610°		 →
↑
536.82 m
↓
↑
536.82 m
↓
N 28.492833°
E 25.620117°		 ← 536.81 m →
288 162 m²		 N 28.492833°
E 25.625610°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 37432 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 27352 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.571174621582031 y=0.417366027832031 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.571174621582031 × 216)
    floor (0.571174621582031 × 65536)
    floor (37432.5)     		tx = 37432
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.417366027832031 × 216)
    floor (0.417366027832031 × 65536)
    floor (27352.5)     		ty = 27352
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 37432 / 27352 ti = "16/37432/27352"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/37432/27352.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 37432 ÷ 216
    37432 ÷ 65536     		x = 0.5711669921875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 27352 ÷ 216
    27352 ÷ 65536     		y = 0.4173583984375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5711669921875 × 2 - 1) × π
    0.142333984375 × 3.1415926535     		Λ = 0.44715540
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.4173583984375 × 2 - 1) × π
    0.165283203125 × 3.1415926535     		Φ = 0.519252496684448
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.44715540} λ = 0.44715540}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.519252496684448))-π/2
    2×atan(1.68077079826272)-π/2
    2×1.03408716871685-π/2
    2.0681743374337-1.57079632675     		φ = 0.49737801
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.44715540} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 25.620117°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.49737801 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 28.497661°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 37432 KachelY 27352 0.44715540 0.49737801 25.620117 28.497661
    Oben rechts KachelX + 1 37433 KachelY 27352 0.44725127 0.49737801 25.625610 28.497661
    Unten links KachelX 37432 KachelY + 1 27353 0.44715540 0.49729375 25.620117 28.492833
    Unten rechts KachelX + 1 37433 KachelY + 1 27353 0.44725127 0.49729375 25.625610 28.492833
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.49737801-0.49729375) × R
    8.42600000000027e-05 × 6371000     		dl = 536.820460000017m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.49737801-0.49729375) × R
    8.42600000000027e-05 × 6371000     		dr = 536.820460000017m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.44715540-0.44725127) × cos(0.49737801) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.878836592803586 × 6371000     		do = 536.782642712889m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.44715540-0.44725127) × cos(0.49729375) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.878876792057695 × 6371000     		du = 536.807195925662m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.49737801)-sin(0.49729375))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.878836592803586-0.878876792057695)×R²
    abs(0.44725127-0.44715540)×4.01992541090301e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.01992541090301e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.01992541090301e-05×40589641000000     		ar = 288162.495685115m²