Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 37432 / 27048
↖ ↑ ↗
← N 29.954935°
E 25.620117°		 ← 529.20 m → N 29.954935°
E 25.625610°		 →
↑
529.24 m
↓
↑
529.24 m
↓
N 29.950175°
E 25.620117°		 ← 529.22 m →
280 079 m²		 N 29.950175°
E 25.625610°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 37432 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 27048 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.571174621582031 y=0.412727355957031 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.571174621582031 × 216)
    floor (0.571174621582031 × 65536)
    floor (37432.5)     		tx = 37432
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.412727355957031 × 216)
    floor (0.412727355957031 × 65536)
    floor (27048.5)     		ty = 27048
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 37432 / 27048 ti = "16/37432/27048"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/37432/27048.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 37432 ÷ 216
    37432 ÷ 65536     		x = 0.5711669921875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 27048 ÷ 216
    27048 ÷ 65536     		y = 0.4127197265625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5711669921875 × 2 - 1) × π
    0.142333984375 × 3.1415926535     		Λ = 0.44715540
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.4127197265625 × 2 - 1) × π
    0.174560546875 × 3.1415926535     		Φ = 0.548398131653442
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.44715540} λ = 0.44715540}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.548398131653442))-π/2
    2×atan(1.73047879728279)-π/2
    2×1.04680428094611-π/2
    2.09360856189222-1.57079632675     		φ = 0.52281224
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.44715540} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 25.620117°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.52281224 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 29.954935°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 37432 KachelY 27048 0.44715540 0.52281224 25.620117 29.954935
    Oben rechts KachelX + 1 37433 KachelY 27048 0.44725127 0.52281224 25.625610 29.954935
    Unten links KachelX 37432 KachelY + 1 27049 0.44715540 0.52272917 25.620117 29.950175
    Unten rechts KachelX + 1 37433 KachelY + 1 27049 0.44725127 0.52272917 25.625610 29.950175
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.52281224-0.52272917) × R
    8.30700000000739e-05 × 6371000     		dl = 529.238970000471m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.52281224-0.52272917) × R
    8.30700000000739e-05 × 6371000     		dr = 529.238970000471m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.44715540-0.44725127) × cos(0.52281224) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.866418403664834 × 6371000     		do = 529.197764661392m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.44715540-0.44725127) × cos(0.52272917) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.866459879078585 × 6371000     		du = 529.223097336867m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.52281224)-sin(0.52272917))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.866418403664834-0.866459879078585)×R²
    abs(0.44725127-0.44715540)×4.1475413750991e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.1475413750991e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.1475413750991e-05×40589641000000     		ar = 280078.783576445m²