Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
15 / 3743 / 4043
↖ ↑ ↗
← N 79.280184°
W138.878174°		 ← 227.23 m → N 79.280184°
W138.867187°		 →
↑
227.25 m
↓
↑
227.25 m
↓
N 79.278140°
W138.878174°		 ← 227.28 m →
51 644 m²		 N 79.278140°
W138.867187°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 3743 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 4043 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.114242553710938 y=0.123397827148438 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.114242553710938 × 215)
    floor (0.114242553710938 × 32768)
    floor (3743.5)     		tx = 3743
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.123397827148438 × 215)
    floor (0.123397827148438 × 32768)
    floor (4043.5)     		ty = 4043
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 3743 / 4043 ti = "15/3743/4043"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/3743/4043.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 3743 ÷ 215
    3743 ÷ 32768     		x = 0.114227294921875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 4043 ÷ 215
    4043 ÷ 32768     		y = 0.123382568359375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.114227294921875 × 2 - 1) × π
    -0.77154541015625 × 3.1415926535     		Λ = -2.42388139
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.123382568359375 × 2 - 1) × π
    0.75323486328125 × 3.1415926535     		Φ = 2.36635711284445
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.42388139} λ = -2.42388139}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.36635711284445))-π/2
    2×atan(10.658493785599)-π/2
    2×1.47724828538458-π/2
    2.95449657076916-1.57079632675     		φ = 1.38370024
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.42388139} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -138.878174°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.38370024 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.280184°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 3743 KachelY 4043 -2.42388139 1.38370024 -138.878174 79.280184
    Oben rechts KachelX + 1 3744 KachelY 4043 -2.42368964 1.38370024 -138.867187 79.280184
    Unten links KachelX 3743 KachelY + 1 4044 -2.42388139 1.38366457 -138.878174 79.278140
    Unten rechts KachelX + 1 3744 KachelY + 1 4044 -2.42368964 1.38366457 -138.867187 79.278140
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.38370024-1.38366457) × R
    3.56699999999321e-05 × 6371000     		dl = 227.253569999568m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.38370024-1.38366457) × R
    3.56699999999321e-05 × 6371000     		dr = 227.253569999568m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.42388139--2.42368964) × cos(1.38370024) × R
    0.000191749999999935 × 0.186006447622772 × 6371000     		do = 227.232777168971m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.42388139--2.42368964) × cos(1.38366457) × R
    0.000191749999999935 × 0.186041495010273 × 6371000     		du = 227.275592433152m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.38370024)-sin(1.38366457))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.186006447622772-0.186041495010273)×R²
    abs(-2.42368964--2.42388139)×3.50473875006529e-05×R²
    0.000191749999999935×3.50473875006529e-05×6371000²
    0.000191749999999935×3.50473875006529e-05×40589641000000     		ar = 51644.3247986611m²