Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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12 / 3743 / 3736
↖ ↑ ↗
← S 81.413933°
E148.974610°		 ← 1 459.06 m → S 81.413933°
E149.062500°		 →
↑
1 457.94 m
↓
↑
1 457.94 m
↓
S 81.427045°
E148.974610°		 ← 1 456.85 m →
2 125 605 m²		 S 81.427045°
E149.062500°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 3743 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3736 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.9139404296875 y=0.9122314453125 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.9139404296875 × 212)
    floor (0.9139404296875 × 4096)
    floor (3743.5)     		tx = 3743
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.9122314453125 × 212)
    floor (0.9122314453125 × 4096)
    floor (3736.5)     		ty = 3736
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 3743 / 3736 ti = "12/3743/3736"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/3743/3736.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 3743 ÷ 212
    3743 ÷ 4096     		x = 0.913818359375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3736 ÷ 212
    3736 ÷ 4096     		y = 0.912109375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.913818359375 × 2 - 1) × π
    0.82763671875 × 3.1415926535     		Λ = 2.60009744
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.912109375 × 2 - 1) × π
    -0.82421875 × 3.1415926535     		Φ = -2.58935956987695
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.60009744} λ = 2.60009744}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.58935956987695))-π/2
    2×atan(0.0750681005668772)-π/2
    2×0.0749275670105992-π/2
    0.149855134021198-1.57079632675     		φ = -1.42094119
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.60009744} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 148.974610°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.42094119 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -81.413933°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 3743 KachelY 3736 2.60009744 -1.42094119 148.974610 -81.413933
    Oben rechts KachelX + 1 3744 KachelY 3736 2.60163142 -1.42094119 149.062500 -81.413933
    Unten links KachelX 3743 KachelY + 1 3737 2.60009744 -1.42117003 148.974610 -81.427045
    Unten rechts KachelX + 1 3744 KachelY + 1 3737 2.60163142 -1.42117003 149.062500 -81.427045
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.42094119--1.42117003) × R
    0.000228840000000119 × 6371000     		dl = 1457.93964000076m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.42094119--1.42117003) × R
    0.000228840000000119 × 6371000     		dr = 1457.93964000076m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.60009744-2.60163142) × cos(-1.42094119) × R
    0.00153398000000005 × 0.149294894358631 × 6371000     		do = 1459.05699902946m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.60009744-2.60163142) × cos(-1.42117003) × R
    0.00153398000000005 × 0.149068615126439 × 6371000     		du = 1456.84557512991m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.42094119)-sin(-1.42117003))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.149294894358631-0.149068615126439)×R²
    abs(2.60163142-2.60009744)×0.000226279232192567×R²
    0.00153398000000005×0.000226279232192567×6371000²
    0.00153398000000005×0.000226279232192567×40589641000000     		ar = 2125604.98389818m²