Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 3743 / 2588
↖ ↑ ↗
← N 55.078367°
W 15.512695°		 ← 2 797.30 m → N 55.078367°
W 15.468750°		 →
↑
2 798.14 m
↓
↑
2 798.14 m
↓
N 55.053203°
W 15.512695°		 ← 2 799.06 m →
7 829 708 m²		 N 55.053203°
W 15.468750°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 3743 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2588 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.45697021484375 y=0.31597900390625 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.45697021484375 × 213)
    floor (0.45697021484375 × 8192)
    floor (3743.5)     		tx = 3743
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.31597900390625 × 213)
    floor (0.31597900390625 × 8192)
    floor (2588.5)     		ty = 2588
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 3743 / 2588 ti = "13/3743/2588"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/3743/2588.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 3743 ÷ 213
    3743 ÷ 8192     		x = 0.4569091796875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2588 ÷ 213
    2588 ÷ 8192     		y = 0.31591796875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4569091796875 × 2 - 1) × π
    -0.086181640625 × 3.1415926535     		Λ = -0.27074761
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.31591796875 × 2 - 1) × π
    0.3681640625 × 3.1415926535     		Φ = 1.15662151403271
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.27074761} λ = -0.27074761}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.15662151403271))-π/2
    2×atan(3.17917431603779)-π/2
    2×1.2660475907986-π/2
    2.53209518159719-1.57079632675     		φ = 0.96129885
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.27074761} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -15.512695°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.96129885 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 55.078367°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 3743 KachelY 2588 -0.27074761 0.96129885 -15.512695 55.078367
    Oben rechts KachelX + 1 3744 KachelY 2588 -0.26998062 0.96129885 -15.468750 55.078367
    Unten links KachelX 3743 KachelY + 1 2589 -0.27074761 0.96085965 -15.512695 55.053203
    Unten rechts KachelX + 1 3744 KachelY + 1 2589 -0.26998062 0.96085965 -15.468750 55.053203
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.96129885-0.96085965) × R
    0.000439200000000084 × 6371000     		dl = 2798.14320000053m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.96129885-0.96085965) × R
    0.000439200000000084 × 6371000     		dr = 2798.14320000053m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.27074761--0.26998062) × cos(0.96129885) × R
    0.000766990000000023 × 0.572455495635847 × 6371000     		do = 2797.29993824827m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.27074761--0.26998062) × cos(0.96085965) × R
    0.000766990000000023 × 0.572815556212419 × 6371000     		du = 2799.05937183969m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.96129885)-sin(0.96085965))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.572455495635847-0.572815556212419)×R²
    abs(-0.26998062--0.27074761)×0.00036006057657223×R²
    0.000766990000000023×0.00036006057657223×6371000²
    0.000766990000000023×0.00036006057657223×40589641000000     		ar = 7829707.50000316m²