Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 37427 / 27339
↖ ↑ ↗
← N 28.560401°
E 25.592651°		 ← 536.46 m → N 28.560401°
E 25.598144°		 →
↑
536.50 m
↓
↑
536.50 m
↓
N 28.555576°
E 25.592651°		 ← 536.49 m →
287 820 m²		 N 28.555576°
E 25.598144°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 37427 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 27339 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.571098327636719 y=0.417167663574219 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.571098327636719 × 216)
    floor (0.571098327636719 × 65536)
    floor (37427.5)     		tx = 37427
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.417167663574219 × 216)
    floor (0.417167663574219 × 65536)
    floor (27339.5)     		ty = 27339
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 37427 / 27339 ti = "16/37427/27339"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/37427/27339.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 37427 ÷ 216
    37427 ÷ 65536     		x = 0.571090698242188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 27339 ÷ 216
    27339 ÷ 65536     		y = 0.417160034179688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.571090698242188 × 2 - 1) × π
    0.142181396484375 × 3.1415926535     		Λ = 0.44667603
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.417160034179688 × 2 - 1) × π
    0.165679931640625 × 3.1415926535     		Φ = 0.52049885607457
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.44667603} λ = 0.44667603}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.52049885607457))-π/2
    2×atan(1.68286694873684)-π/2
    2×1.03463467891796-π/2
    2.06926935783592-1.57079632675     		φ = 0.49847303
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.44667603} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 25.592651°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.49847303 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 28.560401°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 37427 KachelY 27339 0.44667603 0.49847303 25.592651 28.560401
    Oben rechts KachelX + 1 37428 KachelY 27339 0.44677190 0.49847303 25.598144 28.560401
    Unten links KachelX 37427 KachelY + 1 27340 0.44667603 0.49838882 25.592651 28.555576
    Unten rechts KachelX + 1 37428 KachelY + 1 27340 0.44677190 0.49838882 25.598144 28.555576
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.49847303-0.49838882) × R
    8.42099999999735e-05 × 6371000     		dl = 536.501909999831m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.49847303-0.49838882) × R
    8.42099999999735e-05 × 6371000     		dr = 536.501909999831m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.44667603-0.44677190) × cos(0.49847303) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.878313606918615 × 6371000     		do = 536.463209330465m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.44667603-0.44677190) × cos(0.49838882) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.878353863336989 × 6371000     		du = 536.487797458473m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.49847303)-sin(0.49838882))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.878313606918615-0.878353863336989)×R²
    abs(0.44677190-0.44667603)×4.02564183745735e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.02564183745735e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.02564183745735e-05×40589641000000     		ar = 287820.132409378m²