Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 37426 / 27338
↖ ↑ ↗
← N 28.565226°
E 25.587158°		 ← 536.44 m → N 28.565226°
E 25.592651°		 →
↑
536.50 m
↓
↑
536.50 m
↓
N 28.560401°
E 25.587158°		 ← 536.46 m →
287 807 m²		 N 28.560401°
E 25.592651°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 37426 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 27338 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.571083068847656 y=0.417152404785156 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.571083068847656 × 216)
    floor (0.571083068847656 × 65536)
    floor (37426.5)     		tx = 37426
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.417152404785156 × 216)
    floor (0.417152404785156 × 65536)
    floor (27338.5)     		ty = 27338
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 37426 / 27338 ti = "16/37426/27338"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/37426/27338.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 37426 ÷ 216
    37426 ÷ 65536     		x = 0.571075439453125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 27338 ÷ 216
    27338 ÷ 65536     		y = 0.417144775390625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.571075439453125 × 2 - 1) × π
    0.14215087890625 × 3.1415926535     		Λ = 0.44658016
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.417144775390625 × 2 - 1) × π
    0.16571044921875 × 3.1415926535     		Φ = 0.52059472987381
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.44658016} λ = 0.44658016}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.52059472987381))-π/2
    2×atan(1.68302829931935)-π/2
    2×1.03467678158418-π/2
    2.06935356316836-1.57079632675     		φ = 0.49855724
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.44658016} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 25.587158°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.49855724 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 28.565226°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 37426 KachelY 27338 0.44658016 0.49855724 25.587158 28.565226
    Oben rechts KachelX + 1 37427 KachelY 27338 0.44667603 0.49855724 25.592651 28.565226
    Unten links KachelX 37426 KachelY + 1 27339 0.44658016 0.49847303 25.587158 28.560401
    Unten rechts KachelX + 1 37427 KachelY + 1 27339 0.44667603 0.49847303 25.592651 28.560401
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.49855724-0.49847303) × R
    8.4210000000029e-05 × 6371000     		dl = 536.501910000185m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.49855724-0.49847303) × R
    8.4210000000029e-05 × 6371000     		dr = 536.501910000185m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.44658016-0.44667603) × cos(0.49855724) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.878273344271834 × 6371000     		do = 536.438617398224m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.44658016-0.44667603) × cos(0.49847303) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.878313606918615 × 6371000     		du = 536.463209330465m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.49855724)-sin(0.49847303))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.878273344271834-0.878313606918615)×R²
    abs(0.44667603-0.44658016)×4.02626467810308e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.02626467810308e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.02626467810308e-05×40589641000000     		ar = 287806.939811447m²