Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 37424 / 28240
↖ ↑ ↗
← N 24.126702°
E 25.576172°		 ← 557.43 m → N 24.126702°
E 25.581665°		 →
↑
557.46 m
↓
↑
557.46 m
↓
N 24.121689°
E 25.576172°		 ← 557.45 m →
310 753 m²		 N 24.121689°
E 25.581665°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 37424 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 28240 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.571052551269531 y=0.430915832519531 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.571052551269531 × 216)
    floor (0.571052551269531 × 65536)
    floor (37424.5)     		tx = 37424
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.430915832519531 × 216)
    floor (0.430915832519531 × 65536)
    floor (28240.5)     		ty = 28240
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 37424 / 28240 ti = "16/37424/28240"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/37424/28240.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 37424 ÷ 216
    37424 ÷ 65536     		x = 0.571044921875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 28240 ÷ 216
    28240 ÷ 65536     		y = 0.430908203125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.571044921875 × 2 - 1) × π
    0.14208984375 × 3.1415926535     		Λ = 0.44638841
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.430908203125 × 2 - 1) × π
    0.13818359375 × 3.1415926535     		Φ = 0.434116562959229
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.44638841} λ = 0.44638841}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.434116562959229))-π/2
    2×atan(1.54359878407265)-π/2
    2×0.995943356804966-π/2
    1.99188671360993-1.57079632675     		φ = 0.42109039
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.44638841} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 25.576172°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.42109039 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 24.126702°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 37424 KachelY 28240 0.44638841 0.42109039 25.576172 24.126702
    Oben rechts KachelX + 1 37425 KachelY 28240 0.44648428 0.42109039 25.581665 24.126702
    Unten links KachelX 37424 KachelY + 1 28241 0.44638841 0.42100289 25.576172 24.121689
    Unten rechts KachelX + 1 37425 KachelY + 1 28241 0.44648428 0.42100289 25.581665 24.121689
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.42109039-0.42100289) × R
    8.74999999999626e-05 × 6371000     		dl = 557.462499999762m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.42109039-0.42100289) × R
    8.74999999999626e-05 × 6371000     		dr = 557.462499999762m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.44638841-0.44648428) × cos(0.42109039) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.912643779671347 × 6371000     		do = 557.431658989821m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.44638841-0.44648428) × cos(0.42100289) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.912679542313019 × 6371000     		du = 557.453502373977m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.42109039)-sin(0.42100289))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.912643779671347-0.912679542313019)×R²
    abs(0.44648428-0.44638841)×3.57626416718215e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.57626416718215e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.57626416718215e-05×40589641000000     		ar = 310753.334831487m²