Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 37423 / 27438
↖ ↑ ↗
← N 28.081674°
E 25.570679°		 ← 538.88 m → N 28.081674°
E 25.576172°		 →
↑
538.92 m
↓
↑
538.92 m
↓
N 28.076827°
E 25.570679°		 ← 538.91 m →
290 424 m²		 N 28.076827°
E 25.576172°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 37423 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 27438 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.571037292480469 y=0.418678283691406 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.571037292480469 × 216)
    floor (0.571037292480469 × 65536)
    floor (37423.5)     		tx = 37423
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.418678283691406 × 216)
    floor (0.418678283691406 × 65536)
    floor (27438.5)     		ty = 27438
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 37423 / 27438 ti = "16/37423/27438"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/37423/27438.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 37423 ÷ 216
    37423 ÷ 65536     		x = 0.571029663085938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 27438 ÷ 216
    27438 ÷ 65536     		y = 0.418670654296875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.571029663085938 × 2 - 1) × π
    0.142059326171875 × 3.1415926535     		Λ = 0.44629254
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.418670654296875 × 2 - 1) × π
    0.16265869140625 × 3.1415926535     		Φ = 0.511007349949799
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.44629254} λ = 0.44629254}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.511007349949799))-π/2
    2×atan(1.66696957116169)-π/2
    2×1.03045699641231-π/2
    2.06091399282463-1.57079632675     		φ = 0.49011767
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.44629254} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 25.570679°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.49011767 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 28.081674°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 37423 KachelY 27438 0.44629254 0.49011767 25.570679 28.081674
    Oben rechts KachelX + 1 37424 KachelY 27438 0.44638841 0.49011767 25.576172 28.081674
    Unten links KachelX 37423 KachelY + 1 27439 0.44629254 0.49003308 25.570679 28.076827
    Unten rechts KachelX + 1 37424 KachelY + 1 27439 0.44638841 0.49003308 25.576172 28.076827
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.49011767-0.49003308) × R
    8.45899999999955e-05 × 6371000     		dl = 538.922889999971m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.49011767-0.49003308) × R
    8.45899999999955e-05 × 6371000     		dr = 538.922889999971m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.44629254-0.44638841) × cos(0.49011767) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.882277473953497 × 6371000     		do = 538.884290837278m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.44629254-0.44638841) × cos(0.49003308) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.882317289822981 × 6371000     		du = 538.908609883411m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.49011767)-sin(0.49003308))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.882277473953497-0.882317289822981)×R²
    abs(0.44638841-0.44629254)×3.98158694843165e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.98158694843165e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.98158694843165e-05×40589641000000     		ar = 290423.632612238m²