Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 37421 / 27393
↖ ↑ ↗
← N 28.299544°
E 25.559693°		 ← 537.79 m → N 28.299544°
E 25.565185°		 →
↑
537.78 m
↓
↑
537.78 m
↓
N 28.294708°
E 25.559693°		 ← 537.81 m →
289 216 m²		 N 28.294708°
E 25.565185°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 37421 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 27393 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.571006774902344 y=0.417991638183594 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.571006774902344 × 216)
    floor (0.571006774902344 × 65536)
    floor (37421.5)     		tx = 37421
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.417991638183594 × 216)
    floor (0.417991638183594 × 65536)
    floor (27393.5)     		ty = 27393
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 37421 / 27393 ti = "16/37421/27393"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/37421/27393.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 37421 ÷ 216
    37421 ÷ 65536     		x = 0.570999145507812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 27393 ÷ 216
    27393 ÷ 65536     		y = 0.417984008789062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.570999145507812 × 2 - 1) × π
    0.141998291015625 × 3.1415926535     		Λ = 0.44610079
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.417984008789062 × 2 - 1) × π
    0.164031982421875 × 3.1415926535     		Φ = 0.515321670915604
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.44610079} λ = 0.44610079}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.515321670915604))-π/2
    2×atan(1.67417694922359)-π/2
    2×1.03235827464268-π/2
    2.06471654928536-1.57079632675     		φ = 0.49392022
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.44610079} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 25.559693°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.49392022 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 28.299544°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 37421 KachelY 27393 0.44610079 0.49392022 25.559693 28.299544
    Oben rechts KachelX + 1 37422 KachelY 27393 0.44619666 0.49392022 25.565185 28.299544
    Unten links KachelX 37421 KachelY + 1 27394 0.44610079 0.49383581 25.559693 28.294708
    Unten rechts KachelX + 1 37422 KachelY + 1 27394 0.44619666 0.49383581 25.565185 28.294708
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.49392022-0.49383581) × R
    8.44100000000347e-05 × 6371000     		dl = 537.776110000221m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.49392022-0.49383581) × R
    8.44100000000347e-05 × 6371000     		dr = 537.776110000221m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.44610079-0.44619666) × cos(0.49392022) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.880481126424298 × 6371000     		do = 537.787103735773m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.44610079-0.44619666) × cos(0.49383581) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.880521140481769 × 6371000     		du = 537.811543832705m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.49392022)-sin(0.49383581))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.880481126424298-0.880521140481769)×R²
    abs(0.44619666-0.44610079)×4.00140574711161e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.00140574711161e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.00140574711161e-05×40589641000000     		ar = 289215.62847712m²