Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 3742 / 3933
↖ ↑ ↗
← N 79.502658°
W138.889160°		 ← 222.57 m → N 79.502658°
W138.878174°		 →
↑
222.60 m
↓
↑
222.60 m
↓
N 79.500656°
W138.889160°		 ← 222.61 m →
49 549 m²		 N 79.500656°
W138.878174°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 3742 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3933 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.114212036132812 y=0.120040893554688 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.114212036132812 × 215)
    floor (0.114212036132812 × 32768)
    floor (3742.5)     		tx = 3742
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.120040893554688 × 215)
    floor (0.120040893554688 × 32768)
    floor (3933.5)     		ty = 3933
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 3742 / 3933 ti = "15/3742/3933"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/3742/3933.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 3742 ÷ 215
    3742 ÷ 32768     		x = 0.11419677734375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3933 ÷ 215
    3933 ÷ 32768     		y = 0.120025634765625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.11419677734375 × 2 - 1) × π
    -0.7716064453125 × 3.1415926535     		Λ = -2.42407314
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.120025634765625 × 2 - 1) × π
    0.75994873046875 × 3.1415926535     		Φ = 2.38744934867728
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.42407314} λ = -2.42407314}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.38744934867728))-π/2
    2×atan(10.885692895742)-π/2
    2×1.47918973934568-π/2
    2.95837947869137-1.57079632675     		φ = 1.38758315
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.42407314} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -138.889160°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.38758315 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.502658°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 3742 KachelY 3933 -2.42407314 1.38758315 -138.889160 79.502658
    Oben rechts KachelX + 1 3743 KachelY 3933 -2.42388139 1.38758315 -138.878174 79.502658
    Unten links KachelX 3742 KachelY + 1 3934 -2.42407314 1.38754821 -138.889160 79.500656
    Unten rechts KachelX + 1 3743 KachelY + 1 3934 -2.42388139 1.38754821 -138.878174 79.500656
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.38758315-1.38754821) × R
    3.49399999999278e-05 × 6371000     		dl = 222.60273999954m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.38758315-1.38754821) × R
    3.49399999999278e-05 × 6371000     		dr = 222.60273999954m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.42407314--2.42388139) × cos(1.38758315) × R
    0.000191749999999935 × 0.182189907514474 × 6371000     		do = 222.570341973476m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.42407314--2.42388139) × cos(1.38754821) × R
    0.000191749999999935 × 0.1822242626251 × 6371000     		du = 222.612311525055m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.38758315)-sin(1.38754821))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.182189907514474-0.1822242626251)×R²
    abs(-2.42388139--2.42407314)×3.43551106263829e-05×R²
    0.000191749999999935×3.43551106263829e-05×6371000²
    0.000191749999999935×3.43551106263829e-05×40589641000000     		ar = 49549.4392394019m²