Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 3742 / 1891
↖ ↑ ↗
← N 69.115611°
W 15.556641°		 ← 1 741.95 m → N 69.115611°
W 15.512695°		 →
↑
1 742.60 m
↓
↑
1 742.60 m
↓
N 69.099940°
W 15.556641°		 ← 1 743.20 m →
3 036 610 m²		 N 69.099940°
W 15.512695°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 3742 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1891 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.45684814453125 y=0.23089599609375 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.45684814453125 × 213)
    floor (0.45684814453125 × 8192)
    floor (3742.5)     		tx = 3742
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.23089599609375 × 213)
    floor (0.23089599609375 × 8192)
    floor (1891.5)     		ty = 1891
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 3742 / 1891 ti = "13/3742/1891"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/3742/1891.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 3742 ÷ 213
    3742 ÷ 8192     		x = 0.456787109375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1891 ÷ 213
    1891 ÷ 8192     		y = 0.2308349609375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.456787109375 × 2 - 1) × π
    -0.08642578125 × 3.1415926535     		Λ = -0.27151460
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.2308349609375 × 2 - 1) × π
    0.538330078125 × 3.1415926535     		Φ = 1.69121381859558
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.27151460} λ = -0.27151460}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.69121381859558))-π/2
    2×atan(5.42606296561641)-π/2
    2×1.38854565219482-π/2
    2.77709130438964-1.57079632675     		φ = 1.20629498
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.27151460} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -15.556641°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.20629498 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 69.115611°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 3742 KachelY 1891 -0.27151460 1.20629498 -15.556641 69.115611
    Oben rechts KachelX + 1 3743 KachelY 1891 -0.27074761 1.20629498 -15.512695 69.115611
    Unten links KachelX 3742 KachelY + 1 1892 -0.27151460 1.20602146 -15.556641 69.099940
    Unten rechts KachelX + 1 3743 KachelY + 1 1892 -0.27074761 1.20602146 -15.512695 69.099940
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.20629498-1.20602146) × R
    0.000273519999999916 × 6371000     		dl = 1742.59591999947m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.20629498-1.20602146) × R
    0.000273519999999916 × 6371000     		dr = 1742.59591999947m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.27151460--0.27074761) × cos(1.20629498) × R
    0.000766989999999967 × 0.356483446310132 × 6371000     		do = 1741.95396839046m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.27151460--0.27074761) × cos(1.20602146) × R
    0.000766989999999967 × 0.356738983156393 × 6371000     		du = 1743.20264747506m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.20629498)-sin(1.20602146))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.356483446310132-0.356738983156393)×R²
    abs(-0.27074761--0.27151460)×0.000255536846261728×R²
    0.000766989999999967×0.000255536846261728×6371000²
    0.000766989999999967×0.000255536846261728×40589641000000     		ar = 3036609.86861494m²