Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 37419 / 27441
↖ ↑ ↗
← N 28.067133°
E 25.548706°		 ← 538.96 m → N 28.067133°
E 25.554199°		 →
↑
538.99 m
↓
↑
538.99 m
↓
N 28.062286°
E 25.548706°		 ← 538.98 m →
290 497 m²		 N 28.062286°
E 25.554199°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 37419 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 27441 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.570976257324219 y=0.418724060058594 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.570976257324219 × 216)
    floor (0.570976257324219 × 65536)
    floor (37419.5)     		tx = 37419
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.418724060058594 × 216)
    floor (0.418724060058594 × 65536)
    floor (27441.5)     		ty = 27441
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 37419 / 27441 ti = "16/37419/27441"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/37419/27441.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 37419 ÷ 216
    37419 ÷ 65536     		x = 0.570968627929688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 27441 ÷ 216
    27441 ÷ 65536     		y = 0.418716430664062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.570968627929688 × 2 - 1) × π
    0.141937255859375 × 3.1415926535     		Λ = 0.44590904
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.418716430664062 × 2 - 1) × π
    0.162567138671875 × 3.1415926535     		Φ = 0.510719728552078
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.44590904} λ = 0.44590904}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.510719728552078))-π/2
    2×atan(1.66649018398798)-π/2
    2×1.03033010688357-π/2
    2.06066021376715-1.57079632675     		φ = 0.48986389
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.44590904} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 25.548706°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.48986389 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 28.067133°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 37419 KachelY 27441 0.44590904 0.48986389 25.548706 28.067133
    Oben rechts KachelX + 1 37420 KachelY 27441 0.44600491 0.48986389 25.554199 28.067133
    Unten links KachelX 37419 KachelY + 1 27442 0.44590904 0.48977929 25.548706 28.062286
    Unten rechts KachelX + 1 37420 KachelY + 1 27442 0.44600491 0.48977929 25.554199 28.062286
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.48986389-0.48977929) × R
    8.46000000000457e-05 × 6371000     		dl = 538.986600000291m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.48986389-0.48977929) × R
    8.46000000000457e-05 × 6371000     		dr = 538.986600000291m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.44590904-0.44600491) × cos(0.48986389) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.882396907326543 × 6371000     		do = 538.957239280864m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.44590904-0.44600491) × cos(0.48977929) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.882436708958559 × 6371000     		du = 538.981549630925m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.48986389)-sin(0.48977929))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.882396907326543-0.882436708958559)×R²
    abs(0.44600491-0.44590904)×3.98016320151129e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.98016320151129e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.98016320151129e-05×40589641000000     		ar = 290497.281595302m²