Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 37418 / 38626
↖ ↑ ↗
← S 30.609550°
E 25.543213°		 ← 525.68 m → S 30.609550°
E 25.548706°		 →
↑
525.67 m
↓
↑
525.67 m
↓
S 30.614277°
E 25.543213°		 ← 525.65 m →
276 328 m²		 S 30.614277°
E 25.548706°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 37418 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 38626 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.570960998535156 y=0.589393615722656 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.570960998535156 × 216)
    floor (0.570960998535156 × 65536)
    floor (37418.5)     		tx = 37418
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.589393615722656 × 216)
    floor (0.589393615722656 × 65536)
    floor (38626.5)     		ty = 38626
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 37418 / 38626 ti = "16/37418/38626"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/37418/38626.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 37418 ÷ 216
    37418 ÷ 65536     		x = 0.570953369140625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 38626 ÷ 216
    38626 ÷ 65536     		y = 0.589385986328125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.570953369140625 × 2 - 1) × π
    0.14190673828125 × 3.1415926535     		Λ = 0.44581317
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.589385986328125 × 2 - 1) × π
    -0.17877197265625 × 3.1415926535     		Φ = -0.561628715948578
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.44581317} λ = 0.44581317}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.561628715948578))-π/2
    2×atan(0.570279483753009)-π/2
    2×0.518279450147285-π/2
    1.03655890029457-1.57079632675     		φ = -0.53423743
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.44581317} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 25.543213°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.53423743 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -30.609550°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 37418 KachelY 38626 0.44581317 -0.53423743 25.543213 -30.609550
    Oben rechts KachelX + 1 37419 KachelY 38626 0.44590904 -0.53423743 25.548706 -30.609550
    Unten links KachelX 37418 KachelY + 1 38627 0.44581317 -0.53431994 25.543213 -30.614277
    Unten rechts KachelX + 1 37419 KachelY + 1 38627 0.44590904 -0.53431994 25.548706 -30.614277
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.53423743--0.53431994) × R
    8.25100000000356e-05 × 6371000     		dl = 525.671210000227m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.53423743--0.53431994) × R
    8.25100000000356e-05 × 6371000     		dr = 525.671210000227m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.44581317-0.44590904) × cos(-0.53423743) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.860657168589826 × 6371000     		do = 525.678872737482m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.44581317-0.44590904) × cos(-0.53431994) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.860615152816104 × 6371000     		du = 525.653210016746m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.53423743)-sin(-0.53431994))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.860657168589826-0.860615152816104)×R²
    abs(0.44590904-0.44581317)×4.20157737219817e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.20157737219817e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.20157737219817e-05×40589641000000     		ar = 276327.504183433m²