Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 37418 / 26938
↖ ↑ ↗
← N 30.477083°
E 25.543213°		 ← 526.40 m → N 30.477083°
E 25.548706°		 →
↑
526.44 m
↓
↑
526.44 m
↓
N 30.472348°
E 25.543213°		 ← 526.42 m →
277 121 m²		 N 30.472348°
E 25.548706°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 37418 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 26938 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.570960998535156 y=0.411048889160156 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.570960998535156 × 216)
    floor (0.570960998535156 × 65536)
    floor (37418.5)     		tx = 37418
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.411048889160156 × 216)
    floor (0.411048889160156 × 65536)
    floor (26938.5)     		ty = 26938
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 37418 / 26938 ti = "16/37418/26938"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/37418/26938.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 37418 ÷ 216
    37418 ÷ 65536     		x = 0.570953369140625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 26938 ÷ 216
    26938 ÷ 65536     		y = 0.411041259765625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.570953369140625 × 2 - 1) × π
    0.14190673828125 × 3.1415926535     		Λ = 0.44581317
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.411041259765625 × 2 - 1) × π
    0.17791748046875 × 3.1415926535     		Φ = 0.558944249569855
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.44581317} λ = 0.44581317}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.558944249569855))-π/2
    2×atan(1.74882520236525)-π/2
    2×1.05136088518126-π/2
    2.10272177036252-1.57079632675     		φ = 0.53192544
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.44581317} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 25.543213°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.53192544 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 30.477083°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 37418 KachelY 26938 0.44581317 0.53192544 25.543213 30.477083
    Oben rechts KachelX + 1 37419 KachelY 26938 0.44590904 0.53192544 25.548706 30.477083
    Unten links KachelX 37418 KachelY + 1 26939 0.44581317 0.53184281 25.543213 30.472348
    Unten rechts KachelX + 1 37419 KachelY + 1 26939 0.44590904 0.53184281 25.548706 30.472348
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.53192544-0.53184281) × R
    8.26299999999724e-05 × 6371000     		dl = 526.435729999825m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.53192544-0.53184281) × R
    8.26299999999724e-05 × 6371000     		dr = 526.435729999825m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.44581317-0.44590904) × cos(0.53192544) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.861832097649594 × 6371000     		do = 526.396505037806m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.44581317-0.44590904) × cos(0.53184281) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.861874004121675 × 6371000     		du = 526.422100998437m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.53192544)-sin(0.53184281))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.861832097649594-0.861874004121675)×R²
    abs(0.44590904-0.44581317)×4.19064720815765e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.19064720815765e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.19064720815765e-05×40589641000000     		ar = 277120.66587072m²