Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 37417 / 27390
↖ ↑ ↗
← N 28.314053°
E 25.537720°		 ← 537.77 m → N 28.314053°
E 25.543213°		 →
↑
537.71 m
↓
↑
537.71 m
↓
N 28.309217°
E 25.537720°		 ← 537.79 m →
289 172 m²		 N 28.309217°
E 25.543213°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 37417 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 27390 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.570945739746094 y=0.417945861816406 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.570945739746094 × 216)
    floor (0.570945739746094 × 65536)
    floor (37417.5)     		tx = 37417
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.417945861816406 × 216)
    floor (0.417945861816406 × 65536)
    floor (27390.5)     		ty = 27390
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 37417 / 27390 ti = "16/37417/27390"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/37417/27390.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 37417 ÷ 216
    37417 ÷ 65536     		x = 0.570938110351562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 27390 ÷ 216
    27390 ÷ 65536     		y = 0.417938232421875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.570938110351562 × 2 - 1) × π
    0.141876220703125 × 3.1415926535     		Λ = 0.44571729
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.417938232421875 × 2 - 1) × π
    0.16412353515625 × 3.1415926535     		Φ = 0.515609292313324
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.44571729} λ = 0.44571729}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.515609292313324))-π/2
    2×atan(1.67465854759343)-π/2
    2×1.0324848886148-π/2
    2.06496977722961-1.57079632675     		φ = 0.49417345
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.44571729} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 25.537720°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.49417345 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 28.314053°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 37417 KachelY 27390 0.44571729 0.49417345 25.537720 28.314053
    Oben rechts KachelX + 1 37418 KachelY 27390 0.44581317 0.49417345 25.543213 28.314053
    Unten links KachelX 37417 KachelY + 1 27391 0.44571729 0.49408905 25.537720 28.309217
    Unten rechts KachelX + 1 37418 KachelY + 1 27391 0.44581317 0.49408905 25.543213 28.309217
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.49417345-0.49408905) × R
    8.440000000004e-05 × 6371000     		dl = 537.712400000255m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.49417345-0.49408905) × R
    8.440000000004e-05 × 6371000     		dr = 537.712400000255m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.44571729-0.44581317) × cos(0.49417345) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.880361046612203 × 6371000     		do = 537.769848257372m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.44571729-0.44581317) × cos(0.49408905) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.880401074746932 × 6371000     		du = 537.794299502713m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.49417345)-sin(0.49408905))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.880361046612203-0.880401074746932)×R²
    abs(0.44581317-0.44571729)×4.00281347283649e-05×R²
    9.58799999999926e-05×4.00281347283649e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×4.00281347283649e-05×40589641000000     		ar = 289172.089794846m²