Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 37415 / 27964
↖ ↑ ↗
← N 25.502785°
E 25.526734°		 ← 551.28 m → N 25.502785°
E 25.532227°		 →
↑
551.35 m
↓
↑
551.35 m
↓
N 25.497826°
E 25.526734°		 ← 551.30 m →
303 950 m²		 N 25.497826°
E 25.532227°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 37415 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 27964 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.570915222167969 y=0.426704406738281 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.570915222167969 × 216)
    floor (0.570915222167969 × 65536)
    floor (37415.5)     		tx = 37415
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.426704406738281 × 216)
    floor (0.426704406738281 × 65536)
    floor (27964.5)     		ty = 27964
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 37415 / 27964 ti = "16/37415/27964"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/37415/27964.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 37415 ÷ 216
    37415 ÷ 65536     		x = 0.570907592773438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 27964 ÷ 216
    27964 ÷ 65536     		y = 0.42669677734375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.570907592773438 × 2 - 1) × π
    0.141815185546875 × 3.1415926535     		Λ = 0.44552555
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.42669677734375 × 2 - 1) × π
    0.1466064453125 × 3.1415926535     		Φ = 0.4605777315495
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.44552555} λ = 0.44552555}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.4605777315495))-π/2
    2×atan(1.58498941892442)-π/2
    2×1.00795194279277-π/2
    2.01590388558553-1.57079632675     		φ = 0.44510756
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.44552555} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 25.526734°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.44510756 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 25.502785°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 37415 KachelY 27964 0.44552555 0.44510756 25.526734 25.502785
    Oben rechts KachelX + 1 37416 KachelY 27964 0.44562142 0.44510756 25.532227 25.502785
    Unten links KachelX 37415 KachelY + 1 27965 0.44552555 0.44502102 25.526734 25.497826
    Unten rechts KachelX + 1 37416 KachelY + 1 27965 0.44562142 0.44502102 25.532227 25.497826
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.44510756-0.44502102) × R
    8.65400000000238e-05 × 6371000     		dl = 551.346340000152m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.44510756-0.44502102) × R
    8.65400000000238e-05 × 6371000     		dr = 551.346340000152m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.44552555-0.44562142) × cos(0.44510756) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.902564360125396 × 6371000     		do = 551.275272802455m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.44552555-0.44562142) × cos(0.44502102) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.902601616972084 × 6371000     		du = 551.298028828761m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.44510756)-sin(0.44502102))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.902564360125396-0.902601616972084)×R²
    abs(0.44562142-0.44552555)×3.72568466884271e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.72568466884271e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.72568466884271e-05×40589641000000     		ar = 303949.877407742m²