Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 37415 / 27391
↖ ↑ ↗
← N 28.309217°
E 25.526734°		 ← 537.74 m → N 28.309217°
E 25.532227°		 →
↑
537.78 m
↓
↑
537.78 m
↓
N 28.304381°
E 25.526734°		 ← 537.76 m →
289 189 m²		 N 28.304381°
E 25.532227°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 37415 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 27391 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.570915222167969 y=0.417961120605469 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.570915222167969 × 216)
    floor (0.570915222167969 × 65536)
    floor (37415.5)     		tx = 37415
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.417961120605469 × 216)
    floor (0.417961120605469 × 65536)
    floor (27391.5)     		ty = 27391
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 37415 / 27391 ti = "16/37415/27391"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/37415/27391.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 37415 ÷ 216
    37415 ÷ 65536     		x = 0.570907592773438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 27391 ÷ 216
    27391 ÷ 65536     		y = 0.417953491210938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.570907592773438 × 2 - 1) × π
    0.141815185546875 × 3.1415926535     		Λ = 0.44552555
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.417953491210938 × 2 - 1) × π
    0.164093017578125 × 3.1415926535     		Φ = 0.515513418514084
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.44552555} λ = 0.44552555}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.515513418514084))-π/2
    2×atan(1.67449799941235)-π/2
    2×1.0324426858762-π/2
    2.0648853717524-1.57079632675     		φ = 0.49408905
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.44552555} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 25.526734°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.49408905 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 28.309217°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 37415 KachelY 27391 0.44552555 0.49408905 25.526734 28.309217
    Oben rechts KachelX + 1 37416 KachelY 27391 0.44562142 0.49408905 25.532227 28.309217
    Unten links KachelX 37415 KachelY + 1 27392 0.44552555 0.49400464 25.526734 28.304381
    Unten rechts KachelX + 1 37416 KachelY + 1 27392 0.44562142 0.49400464 25.532227 28.304381
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.49408905-0.49400464) × R
    8.44099999999792e-05 × 6371000     		dl = 537.776109999868m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.49408905-0.49400464) × R
    8.44099999999792e-05 × 6371000     		dr = 537.776109999868m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.44552555-0.44562142) × cos(0.49408905) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.880401074746932 × 6371000     		do = 537.73820915027m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.44552555-0.44562142) × cos(0.49400464) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.880441101351802 × 6371000     		du = 537.762656910999m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.49408905)-sin(0.49400464))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.880401074746932-0.880441101351802)×R²
    abs(0.44562142-0.44552555)×4.00266048697917e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.00266048697917e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.00266048697917e-05×40589641000000     		ar = 289189.336197586m²