Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 37414 / 26941
↖ ↑ ↗
← N 30.462879°
E 25.521240°		 ← 526.53 m → N 30.462879°
E 25.526734°		 →
↑
526.50 m
↓
↑
526.50 m
↓
N 30.458144°
E 25.521240°		 ← 526.55 m →
277 224 m²		 N 30.458144°
E 25.526734°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 37414 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 26941 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.570899963378906 y=0.411094665527344 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.570899963378906 × 216)
    floor (0.570899963378906 × 65536)
    floor (37414.5)     		tx = 37414
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.411094665527344 × 216)
    floor (0.411094665527344 × 65536)
    floor (26941.5)     		ty = 26941
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 37414 / 26941 ti = "16/37414/26941"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/37414/26941.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 37414 ÷ 216
    37414 ÷ 65536     		x = 0.570892333984375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 26941 ÷ 216
    26941 ÷ 65536     		y = 0.411087036132812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.570892333984375 × 2 - 1) × π
    0.14178466796875 × 3.1415926535     		Λ = 0.44542967
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.411087036132812 × 2 - 1) × π
    0.177825927734375 × 3.1415926535     		Φ = 0.558656628172134
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.44542967} λ = 0.44542967}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.558656628172134))-π/2
    2×atan(1.74832227514596)-π/2
    2×1.05123693546587-π/2
    2.10247387093173-1.57079632675     		φ = 0.53167754
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.44542967} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 25.521240°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.53167754 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 30.462879°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 37414 KachelY 26941 0.44542967 0.53167754 25.521240 30.462879
    Oben rechts KachelX + 1 37415 KachelY 26941 0.44552555 0.53167754 25.526734 30.462879
    Unten links KachelX 37414 KachelY + 1 26942 0.44542967 0.53159490 25.521240 30.458144
    Unten rechts KachelX + 1 37415 KachelY + 1 26942 0.44552555 0.53159490 25.526734 30.458144
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.53167754-0.53159490) × R
    8.26400000000227e-05 × 6371000     		dl = 526.499440000145m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.53167754-0.53159490) × R
    8.26400000000227e-05 × 6371000     		dr = 526.499440000145m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.44542967-0.44552555) × cos(0.53167754) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.861957804481458 × 6371000     		do = 526.528200565009m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.44542967-0.44552555) × cos(0.53159490) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.861999698367162 × 6371000     		du = 526.553791507094m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.53167754)-sin(0.53159490))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.861957804481458-0.861999698367162)×R²
    abs(0.44552555-0.44542967)×4.18938857039697e-05×R²
    9.58799999999926e-05×4.18938857039697e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×4.18938857039697e-05×40589641000000     		ar = 277223.539707924m²