Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 37411 / 20701
↖ ↑ ↗
← N 76.701914°
W 77.247620°		 ← 70.25 m → N 76.701914°
W 77.244873°		 →
↑
70.21 m
↓
↑
70.21 m
↓
N 76.701283°
W 77.247620°		 ← 70.26 m →
4 932 m²		 N 76.701283°
W 77.244873°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 37411 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 20701 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.285427093505859 y=0.157939910888672 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.285427093505859 × 217)
    floor (0.285427093505859 × 131072)
    floor (37411.5)     		tx = 37411
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.157939910888672 × 217)
    floor (0.157939910888672 × 131072)
    floor (20701.5)     		ty = 20701
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 37411 / 20701 ti = "17/37411/20701"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/37411/20701.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 37411 ÷ 217
    37411 ÷ 131072     		x = 0.285423278808594
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 20701 ÷ 217
    20701 ÷ 131072     		y = 0.157936096191406
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.285423278808594 × 2 - 1) × π
    -0.429153442382812 × 3.1415926535     		Λ = -1.34822530
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.157936096191406 × 2 - 1) × π
    0.684127807617188 × 3.1415926535     		Φ = 2.14925089446522
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.34822530} λ = -1.34822530}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.14925089446522))-π/2
    2×atan(8.57842984037161)-π/2
    2×1.45474863960919-π/2
    2.90949727921838-1.57079632675     		φ = 1.33870095
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.34822530} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -77.247620°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.33870095 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 76.701914°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 37411 KachelY 20701 -1.34822530 1.33870095 -77.247620 76.701914
    Oben rechts KachelX + 1 37412 KachelY 20701 -1.34817736 1.33870095 -77.244873 76.701914
    Unten links KachelX 37411 KachelY + 1 20702 -1.34822530 1.33868993 -77.247620 76.701283
    Unten rechts KachelX + 1 37412 KachelY + 1 20702 -1.34817736 1.33868993 -77.244873 76.701283
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.33870095-1.33868993) × R
    1.10200000000837e-05 × 6371000     		dl = 70.2084200005335m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.33870095-1.33868993) × R
    1.10200000000837e-05 × 6371000     		dr = 70.2084200005335m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.34822530--1.34817736) × cos(1.33870095) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.230017219532983 × 6371000     		do = 70.2531794885578m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.34822530--1.34817736) × cos(1.33868993) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.230027944034897 × 6371000     		du = 70.256455027491m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.33870095)-sin(1.33868993))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.230017219532983-0.230027944034897)×R²
    abs(-1.34817736--1.34822530)×1.07245019139168e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.07245019139168e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.07245019139168e-05×40589641000000     		ar = 4932.4797170873m²