Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 3741 / 3931
↖ ↑ ↗
← N 79.506661°
W138.900147°		 ← 222.49 m → N 79.506661°
W138.889160°		 →
↑
222.54 m
↓
↑
222.54 m
↓
N 79.504660°
W138.900147°		 ← 222.53 m →
49 517 m²		 N 79.504660°
W138.889160°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 3741 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3931 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.114181518554688 y=0.119979858398438 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.114181518554688 × 215)
    floor (0.114181518554688 × 32768)
    floor (3741.5)     		tx = 3741
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.119979858398438 × 215)
    floor (0.119979858398438 × 32768)
    floor (3931.5)     		ty = 3931
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 3741 / 3931 ti = "15/3741/3931"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/3741/3931.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 3741 ÷ 215
    3741 ÷ 32768     		x = 0.114166259765625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3931 ÷ 215
    3931 ÷ 32768     		y = 0.119964599609375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.114166259765625 × 2 - 1) × π
    -0.77166748046875 × 3.1415926535     		Λ = -2.42426489
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.119964599609375 × 2 - 1) × π
    0.76007080078125 × 3.1415926535     		Φ = 2.38783284387424
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.42426489} λ = -2.42426489}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.38783284387424))-π/2
    2×atan(10.8898683072571)-π/2
    2×1.47922466723687-π/2
    2.95844933447374-1.57079632675     		φ = 1.38765301
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.42426489} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -138.900147°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.38765301 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.506661°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 3741 KachelY 3931 -2.42426489 1.38765301 -138.900147 79.506661
    Oben rechts KachelX + 1 3742 KachelY 3931 -2.42407314 1.38765301 -138.889160 79.506661
    Unten links KachelX 3741 KachelY + 1 3932 -2.42426489 1.38761808 -138.900147 79.504660
    Unten rechts KachelX + 1 3742 KachelY + 1 3932 -2.42407314 1.38761808 -138.889160 79.504660
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.38765301-1.38761808) × R
    3.49299999999886e-05 × 6371000     		dl = 222.539029999927m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.38765301-1.38761808) × R
    3.49299999999886e-05 × 6371000     		dr = 222.539029999927m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.42426489--2.42407314) × cos(1.38765301) × R
    0.000191749999999935 × 0.18212121629153 × 6371000     		do = 222.486426079398m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.42426489--2.42407314) × cos(1.38761808) × R
    0.000191749999999935 × 0.182155562014126 × 6371000     		du = 222.528384162191m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.38765301)-sin(1.38761808))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.18212121629153-0.182155562014126)×R²
    abs(-2.42407314--2.42426489)×3.43457225961685e-05×R²
    0.000191749999999935×3.43457225961685e-05×6371000²
    0.000191749999999935×3.43457225961685e-05×40589641000000     		ar = 49516.5821086823m²