Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 37409 / 27389
↖ ↑ ↗
← N 28.318889°
E 25.493774°		 ← 537.75 m → N 28.318889°
E 25.499268°		 →
↑
537.71 m
↓
↑
537.71 m
↓
N 28.314053°
E 25.493774°		 ← 537.77 m →
289 159 m²		 N 28.314053°
E 25.499268°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 37409 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 27389 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.570823669433594 y=0.417930603027344 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.570823669433594 × 216)
    floor (0.570823669433594 × 65536)
    floor (37409.5)     		tx = 37409
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.417930603027344 × 216)
    floor (0.417930603027344 × 65536)
    floor (27389.5)     		ty = 27389
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 37409 / 27389 ti = "16/37409/27389"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/37409/27389.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 37409 ÷ 216
    37409 ÷ 65536     		x = 0.570816040039062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 27389 ÷ 216
    27389 ÷ 65536     		y = 0.417922973632812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.570816040039062 × 2 - 1) × π
    0.141632080078125 × 3.1415926535     		Λ = 0.44495030
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.417922973632812 × 2 - 1) × π
    0.164154052734375 × 3.1415926535     		Φ = 0.515705166112564
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.44495030} λ = 0.44495030}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.515705166112564))-π/2
    2×atan(1.67481911116762)-π/2
    2×1.03252708943435-π/2
    2.0650541788687-1.57079632675     		φ = 0.49425785
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.44495030} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 25.493774°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.49425785 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 28.318889°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 37409 KachelY 27389 0.44495030 0.49425785 25.493774 28.318889
    Oben rechts KachelX + 1 37410 KachelY 27389 0.44504618 0.49425785 25.499268 28.318889
    Unten links KachelX 37409 KachelY + 1 27390 0.44495030 0.49417345 25.493774 28.314053
    Unten rechts KachelX + 1 37410 KachelY + 1 27390 0.44504618 0.49417345 25.499268 28.314053
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.49425785-0.49417345) × R
    8.43999999999845e-05 × 6371000     		dl = 537.712399999901m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.49425785-0.49417345) × R
    8.43999999999845e-05 × 6371000     		dr = 537.712399999901m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.44495030-0.44504618) × cos(0.49425785) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.880321012206347 × 6371000     		do = 537.745393181304m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.44495030-0.44504618) × cos(0.49417345) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.880361046612203 × 6371000     		du = 537.769848257372m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.49425785)-sin(0.49417345))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.880321012206347-0.880361046612203)×R²
    abs(0.44504618-0.44495030)×4.00344058568702e-05×R²
    9.58799999999926e-05×4.00344058568702e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×4.00344058568702e-05×40589641000000     		ar = 289158.941026726m²